【优化课堂】2012年高中数学-第二章-2.6-数列求和课件-新人教A版必修5VIP专享VIP免费

2.6数列求和1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式．2．会用错位相减法，裂项相消法求一些简单数列的前n项和．1．等差数列{an}的求和公式为________________________．练习1：在等差数列{an}中，若a1＝100，S100＝100，则公差d＝________.－22．等比数列{an}的求和公式为___________________________．Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12dSn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠13．裂项求和法．把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和．练习2：数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5＝()BA．1B.56C.16D.130解析：an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝1－16＝56.4．错位相减法．给Sn＝a1＋a2＋…＋an各边同乘以一个适当的数或式子，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.一般适应于数列{anbn}的前n项求和，其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列．练习3：数列22，422，623，…，2n2n，…前n项的和为____________.解析：设Sn＝22＋422＋623＋…＋2n2n，①12Sn＝222＋423＋624＋…＋2n2n＋1，②由①－②，得1－12Sn＝22＋222＋223＋224＋…＋22n－2n2n＋1＝2－12n－1－2n2n＋1.∴Sn＝4－n＋22n－1.Sn＝4－n＋22n－11．当数列{an}是一个等差数列或等比数列时，用什么方法求和？答案：公式法.2．等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数列呢？答案：等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的，等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的．题型1公式法求和例1：已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．自主解答：(1)设等差数列{an}的公差d，则an＝a1＋(n－1)d，由题设，得a3＝－3＝a1＋2d＝1＋2d，所以d＝－2.an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n.(2)因为Sk＝ka1＋ak2＝k1＋3－2k2＝k(2－k)＝－35，所以k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.因为k∈N*，所以k＝7.【变式与拓展】1．求和：22＋23＋24＋…2n＋3＝________.解析：这是一个以4为首项，2为公比的等比数列的求和问题，其项数为(n＋3)－2＋1＝n＋2，2n＋4－4∴Sn＋2＝41－2n＋21－2＝2n＋4－4.题型2分组求和例2：设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.自主解答：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)Sn＝21－2n1－2＋n×1＋nn－12×2＝2n＋1＋n2－2.【变式与拓展】2．已知在等差数列{an}中，Sn是它前n项和，a6＝2，S10＝10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}首项，公差分别为a1，d.则由已知，得a1＋5d＝2，①10a1＋10×92d＝10.②联立①②，解得a1＝－8，d＝2.所以an＝2n－10(n∈N*)．(2)bn＝a2n＝2·2n－10＝2n＋1－10(n∈N*)，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝41－2n1－2－10n＝2n＋2－10n－4.例3：求数列，，…的前n项和．题型3裂项相消法求和111×33×5，…，12n－12n＋1自主解答：11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝121－13＋13－15＋15－17…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.【变式与拓展】11＋2＋3＋…＋n，则数列{an}的前n项和Sn3．已知an＝＝__________.解析：an＝11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21×2＋22×3＋…＋2nn＋1＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.2nn＋1，，的前n项和．4．求数列1111×32×43×5，…，1nn＋2解：11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝121－13＋1...