§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：50分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．“x>1”是“x2>x”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＞x得x＜0或x＞1，∵x＞1⇒x2＞x，而x2＞x⇒/x＞1，∴“x＞1”是“x2＞x”的充分而不必要条件．答案：A2．(2010·天津理，3)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B3．设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是(∁UA)∪B＝U的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图所示，AB⇒(∁UA)∪B＝U；但(∁UA)∪B＝U⇒/AB，如A＝B，因此AB是(∁UA)∪B＝U的充分不必要条件．答案：A4．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零常数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为M与N，那么“＝＝”是“M＝N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：不等式2x2－x＋1>0，－2x2＋x－1>0对应系数成比例但解集不等；不等式x2＋x＋1>0与x2＋x＋2>0的解集相等，但对应系数不成比例．答案：D5．若p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a2＋b2>2ab⇔a≠b⇐ab<0⇔|a＋b|<|a|＋|b|，∴p是q的必要不充分条件．答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)6．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：27．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是________．解析：若a＝0，则x＝－；若a≠0，方程至少有一个负的实根的充要条件是Δ＝0，或或解得a≤1，a≠0.综上可知a≤1.答案：a≤18．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．答案：充分不必要19．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．答案：1三、解答题(共3小题，共34分)10．(本小题满分10分)(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？(2)若p：|3x－4|>2，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？解：(1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线垂直．∴p⇒q，又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直，∴q⇒/p，∴p是q的充分而非必要条件．(2)解不等式|3x－4|>2得p：{x|x>2或x<}，∴綈p：，解不等式>0，得q：{x|x>2或x<－1}，∴綈q：{x|－1≤x≤2}，∴綈p⇒綈q，綈q⇒/綈p.∴綈p是綈q的充分非必要条件．11．(本小题满分12分)若a、b为非零向量，求证|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是a与b共线同向．证明：|a＋b|＝|a|＋|b|⇔(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2⇔2a·b＝2|a||b|⇔cos〈a，b〉＝＝1⇔〈a，b〉＝0⇔a，b共线同向．12．(本小题满分12分)求证方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件充分吗？为什么？证明：∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．2
