江苏省2011年高中数学-25《对数的运算》学案-苏教版必修1VIP专享VIP免费

第25课时对数的运算【学习目标】1.正确理解和掌握对数的运算性质；2.理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言转换能力，学会寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.【课前导学】复习回顾1．对数的定义logaN＝b其中a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）.2．指数式与对数式的互化：ab＝NlogaN＝b.3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵loga1＝0，logaa＝1；⑶对数恒等式；(4)logaab＝b.【课堂活动】一、建构数学：1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)【思路分析】现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.证明：(1)设logaM＝p，logaN＝q由对数的定义得：M＝ap，N＝aq∴MN＝ap·aq＝ap+q再由对数定义得logaMN＝p＋q，即证得logaMN＝logaM＋logaN(2)设logaM＝p，logaN＝q由对数的定义可以得：M＝ap，N＝aq，∴＝＝ap－q，再由对数的定义得：loga＝p－q，即证得loga＝logaM－logaN.(3)设logaM＝p由对数定义得M＝ap，∴Mn＝（ap）n＝anp再由对数定义得logaMn＝np.即证得logaMn＝nlogaM.【解后反思】上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如；（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.是不成立的，是不成立的；（4）当心记忆错误：，试举反例，，试举反例.（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.2.对数换底公式.（尝试证明）说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：①；②；③.换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算.［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：二、应用数学：例1求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）.点评:熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键.例2用logax，logay，logaz表示下列各式：（1）loga；（2）loga.解：（1）loga＝loga（xy）－logaz＝logax＋logay－logaz.（2）loga＝loga（x2·）－loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.例3计算：（1）lg14－2lg＋lg7－lg18；（2）；（3）.【说明】此例题可讲练结合.解：(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg（）2＋lg7－lg18＝lg＝lg1＝0.【解后反思】此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.（2）＝＝＝.（3）＝＝＝.【解后反思】此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4已知.求.[思路分析一]先将指数式化成对数式，然后将所求式化为以18为底的对数式，利用已知代入即可.[思路分析二]将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算.[思路分析三]将已知的对数式化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.[解法一]，.[解法二]，.[解法三]，令，即，.【解后反思】本题的解题方法是将指数式化成对数式，再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式改写成指数式，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.三、理解数学：1.求下列各式的值：（１）log2６－log2３（２）lg５＋lg２（３）log5３＋log5（４）log3５－log315解：（１）log2６－log2３＝log2＝log2２＝１（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１（3）l...