第四章向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合教学目的：使学生掌握向量的定义和线性组合、线性表示.教学重点：线性组合、线性表示.教学难点：如何判断一个向量可以由一组向量线性表示.教学方法：讲授法.教学过程：一、维行向量1、向量：个数构成的有序数组,记作,称为维行向量.––称为向量的第个分量––称为实向量（下面主要讨论实向量）––称为复向量零向量：负向量：2、线性运算：,相等：若,称．加法：数乘：减法：3、算律：,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4、列向量：个数构成的有序数组,记作,二、线性组合以及线性表示：对维向量及,若有数组使得,称为的线性组合,或可由线性表示.例1,,,判断可否由线性表示?解设，比较两端的对应分量可得50,求得一组解为于是有,即可由线性表示.[注]取另一组解时,有.小结：1、维行向量；2、线性组合以及线性表示.作业：习题四3，4.§4.2向量组的线性相关性教学目的：使学生掌握向量组的线性相关性.教学重点：如何证明一组向量线性相关或无关.教学难点：证明一组向量线性无关.教学方法：讲授法和学生自己练习相结合.教学过程：一、线性相关与线性无关线性相关：对维向量组,若有数组不全为0,使得称向量组线性相关,否则称为线性无关．线性无关：对维向量组,仅当数组全为0时,才有称向量组线性无关,否则称为线性相关．[注]对于单个向量：若,则线性相关；若,则线性无关．例1判断例1中向量组的线性相关性.解设,比较两端的对应分量可得即．因为未知量的个数是4,而,所以有非零解,由定义知线性相关.51例2已知向量组线性无关,证明向量组,,线性无关．证设,则有因为线性无关,所以,即系数行列式,该齐次方程组只有零解．故线性无关．例3判断向量组,,…,的线性相关性.解设,则有只有故线性无关．二、判定定理定理1向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证必要性．已知线性相关,则存在不全为零,使得不妨设,则有.充分性不妨设,则有因为不全为零,所以线性相关.定理2若向量组线性无关,线性相关，则可由线性表示,且表示式唯一.证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得若,则有．矛盾!故,从而有．下面证明表示式唯一：若,52则有因为线性无关,所以即的表示式唯一.定理3线性相关线性相关.证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得数组不全为零,故线性相关．推论1含零向量的向量组线性相关.推论2向量组线性无关任意的部分组线性无关.定理4设(1)线性相关；(2)线性无关．证设比较等式两端向量的对应分量可得即．由定理3.5可得：线性相关有非零解推论1在定理4中,当时,有(1)线性相关；(2)线性无关．推论2在定理4中,当时,有(1)线性相关中所有的阶子式；(2)线性无关中至少有一个阶子式．推论3在定理4中,当时,必有线性相关．因为,由定理4(1)即得．推论4向量组：向量组：若线性无关,则线性无关．53证线性无关是的子矩阵线性无关定理5划分,则有(1)中某个中“所在的”个行向量线性无关；中“所在的”个列向量线性无关.(2)中所有中任意的个行向量线性相关；中任意的个列向量线性相关.证只证“行的情形”：(1)设位于的行,作矩阵,则有线性无关．(2)任取中个行,设为行,作矩阵,则有线性相关．[注]称为的行向量组,为的列向量组.小结：1、向量组的线性相关与线性无关；2、线性相关的判定；3、线性相关的性质.作业：习题四5，6.54§4.3向量组的秩教学目的：使学生掌握最大无关组和向量组的秩.教学重点：会求向量组的秩和最大无关组.教学难点：会求最大无关组并把不是最大无关组的向量用最大无关组线性表示.教学方法：讲授法.教学过程：一、定义向量组的秩：设向量组为,若(1)在中有个向量线性无关；(2)在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．称为向量组为的一个最大线性无关组,称为向量组的秩,记作：秩．[注](1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0．(2)秩时,中任意个线性无关的向量都是的一个最大无关组．例如,,,,的秩为2．线性无关是一个最大无关组线性无关是一个最大无关组二、定理55定理设,则(1)的行向量组（列向量组）的秩为；(2)中某个中所在的个行向量（列向量）是的行向量组（列向量组）的最大无关组．证只证“行的情形”：中某个,而中所有定理5中所在的个...
