复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1奎屯王新敞新疆2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：；4、复数的分类：虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模，；积或商的模可利用模的性质（1），（2）6、复数的几何意义：复数复平面内的点，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；⃗OZ=⃗OZ1+⃗OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应奎屯王新敞新疆由于，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zB－zA.，为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；，z对应的点的轨迹是一个圆；，z对应的点的轨迹是一个椭圆；，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)¿(c+di)=a+bic+di=，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，13、熟记常用算式：，(1+i)2=2i，(1−i)2=−2i，1+i1−i=i，1−i1+i=−i14、复数的代数式运算技巧：（1）①(1+i)2=2i②(1−i)2=−2i③1+i1−i=i④1−i1+i=−i（2）“1”的立方根ω=−12±√32i的性质：①ω3=1②ω2=ω③1+ω+ω2=0④ω+1ω=−1⑤1ω=ω15、实系数一元二次方程的根问题：（1）当Δ=b2−4ac≥0时，方程有两个实根x1,x2。（2）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个共轭虚根，其中x1=x2。此时有|x1|2=|x2|2=x1x2=ca且x1,2=−b±√−Δi2a。注意两种题型：(1)|x1−x2|(2)|x1|+|x2|虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知|x2−x1|是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求|x2−x1|的方法：（1）当Δ=b2−4ac≥0时，|x2−x1|=√(x1+x2)2−4x1x2=√b2−4ac|a|(2)当Δ=b2−4ac<0时，|x2−x1|=√|(x1+x2)2−4x1x2|=√4ac−b2|a|已知x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求|x2|+|x1|的方法：（1）当Δ=b2−4ac≥0时，①x1⋅x2≥0,即ca≥0，则|x2|+|x1|=|x1+x2|=|ba|②x1⋅x2<0,即ca<0，则|x2|+|x1|=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√b2−4ac|a|（2）当Δ=b2−4ac<0时，|x2|+|x1|=2|x1|=2√x1⋅x2=2√ca二、典例分析：例1．（1）复数等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数=，选C．（2）若复数z同时满足z－z−＝2i，z−＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知；（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）复数=为实数，∴，选D；（4）已知（）(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：m1+i=1−ni⇒m=(1+n)+(1−n)i，由m、n是实数，得{1−n=0¿¿¿¿，∴{n=1¿¿¿¿，故选择C。（5）设为实数，且，则。解析：，而所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例2：（1）计算：−2√3+i1+2√3i+(√21−i)1996答案：−1+i（2）设复数z满足关系z+|z|=2+i，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得a+bi+√a2+b2=2+i由复数相等可得：{a+√a2+b2=2¿¿¿¿，解得a=34,b=1，所以z=34+i设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若x∈C，解方程|x...
