第69讲排列与组合基础梳理1．排列与排列数(1)排列的概念：从n个元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中抽出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．不同顺序(3)排列数公式Amn＝(4)全排列数公式Ann＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)2．组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个元素中抽出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cmn表示．不同(3)组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.(4)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.组合数公式的两种形式组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由n！m！n－m！写出Cmn.排列与组合的区别与联系组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先取(组合)后排列两个步骤完成．双基自测1．8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有________种．解析本题考查排列组合知识．可分步完成先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6A33A55＝4320种方式．答案43202．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个．解析正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C410＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C45个．(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C25个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2C15个．所以C410－2C45－C25－2C15＝180(个)．答案1803．(2010·山东卷改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．解析因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法；当甲排在第二位时，有A13·A33＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42种．答案424.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．123312231解析只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此填写方法共有A33A22＝12(种)．答案125．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答)解析可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共A25C33＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共C35A22＝20种排法．答案20解(1)A25A44＝480；(2)A22A55＝240；(3)A44A25＝480；(4)A22A24A33＝144；(5)A66－2A55＋A44＝504；(6)A36＝120.本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．【训练1】用0,1,2,3,4,5六个数字按下列要求排成没有重复数字的6位数，问分别有多少种排法？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)从左向右偶数数字从小到大排列．...
