第70讲二项式定理基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的，其中的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做．式中的叫做二项展开式的，用Tr＋1表示，即展开式的第项；Tr＋1＝.二项展开式二项式系数Can－rbr通项r＋1Can－rbr2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.n＋1降幂升幂3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Crn，当r＜n＋12时，二项式系数是递增的；当r＞n＋12时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项Cn2n取得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn－12n和Cn＋12n相等，且同时取得最大值．等距离(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝.2n－12n二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n＋1项，Crnan－rbr是第r＋1项．即r＋1是项数，Crnan－rbr是项．(2)通项是Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．一个区别在Tr＋1＝Crnan－rbr中，Crn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Crn2n－r3rxn－ryr，其中Crn2n－r3r就是Tr＋1项的系数．1．(2011·福建卷改编)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________．解析Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，当r＝2时，T3＝40x2.答案402．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋292，由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案703．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8.答案84．(2011·重庆卷改编)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.解析Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr，由已知条件35C5n＝36C6n，即C5n＝3C6n，n！5！n－5！＝3n！6！n－6！，整理得n＝7.答案75．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r＝(－1)rCr21x21－r，由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，∴a10＋a11＝C1021－C1121＝0.答案0考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点]利用已知条件第6项为常数项求出n，再用通项公式求含x2的项的系数和有理项．解通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1) 第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意知10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k， r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．【训练1】(2011·山东)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析二项式x－ax26展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr6x6－r(－a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C...
