温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.60°B.30°C.135°D.45°【解析】选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos
=1-1··cos=0,所以cos=.因为0°≤≤180°,所以=45°.2.(2014·广州高二检测)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.a·b=|a||b|⇒cos=1⇒=0°,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,a·b=-|a||b|.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4【解析】选C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.所以|a+3b|=.4.(2014·青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.8B.C.4D.【解析】选D.cos==,所以sin=,所以平行四边形的面积S=|a||b|sin=.5.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6B.6C.12D.144【解析】选C.因为=++,所以=+++2·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以||=12.6.(2014·福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则()[来源:学,科,网]A.m∥nB.m⊥nC.m,n既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能【解析】选B.因为m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,所以m⊥n.【一题多解】选B.由向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0)知向量n与向量a,b共面,故向量m⊥n.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于.【解析】a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-=-13.答案:-139.(2014·聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=.【解析】因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0,化简得m·n=-2.又因为|a|====6,|b|===3,a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18,所以cos===1,得=0°.答案:0°【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,解之得|b|2=2a·b=|a|2,所以cos==,所以=60°.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求·的值.【解析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.·=(-)·=·-·,由于·=·(+)=·=1,·=||·||cos60°=××=1.所以·=0.11.(2014·牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:CC1⊥BD.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.【证明】设=a,=b,=c,则|a|=|b|.因为=-=b-a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0,所以⊥,即CC1⊥BD.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3XKB1.COM【解析】选B.由a⊥b,得a·b=0,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0.因为e1·e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014·郑州高二检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||.3.(2014·银川高二检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为()A.B.2C.D.【解析】...
