高考数学一轮总复习 第六篇 第5讲 数列的综合应用 理 湘教版VIP免费

第5讲数列的综合应用A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是()．A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2aC．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a.答案B2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()．A．9B．10C．11D．12解析因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案C3．(·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年解析由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案C4．(·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝()．A．7B．8C．9D．10解析设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·彭水模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.∴S100＝＝10100.答案101006．(·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.解析赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，所以解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝－，所以Tn…＝＋＋＋＝1－＝.8．(13分)(·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n…，有＋＋＋<.(1)解当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.(2)解 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，即＋2＝.又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，∴an＝3n－2n.(3)证明由(2)得＝.当n≥2时，n>2，即3n－2n>2n，∴…＋＋＋<1＋2＋3…＋＋n＝1＋<.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)…＋＋f(2n)等于()．A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)…＋＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)…＋＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案A2．(·四川)设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)…＋＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝()．A．0B.π2C.π2D.π2解析设g(x)＝2x＋sinx，由已知等式得g＋g…＋＋g＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有＋＝＋＝2＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g＞0，g＞g＝－g，g＋g＞0，同理g＋g＞0，g＋g…＋＋g＞0“，这与g＋g…＋＋g＝0”相矛盾，因此a3－＞0不可能；同理a3－＜0也不可能)...