2009-2010学年第一学期线性代数B一、填空题（每空3分，共24分）1设123,,均为3维向量，已知矩阵123(,,)A，123123123(,3927,248)B，且1A，那么B。2.设分块矩阵AOCOB，A，B均为方阵，则下列命题正确的个数为。（A）若A，B均可逆，则C也可逆（B）若A，B均为对称阵，则C也为对称阵（C）若A，B均为正交阵，则C也为正交阵（D）若A，B均可对角化，则C也可对角化3.设2341345145617891D，则D的第一列上的所有元素的代数余子式之和为。4.设向量组（I）：12,,,r可由向量组（II）:12,,,s线性表示，则（注：此题单选）。（A）当rs时，向量组（II）必线性相关（B）当rs时，向量组（II）必线性相关（C）当rs时，向量组（I）必线性相关（D）当rs时，向量组（I）必线性相关5.已知方阵A满足223AAO，则1()AE。6.当矩阵A满足下面条件中的时，推理“若ABO，则BO”可成立。（注：此题可多选）（A）A可逆（B）A为列满秩（即A的秩等于A的列数）（C）A的列向量组线性无关（D）AO7.设矩阵A，B分别为3维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵，已知1,2为A的特征值，B的所有对角元的和为5，则矩阵B的全体特征值为。8.设nJ是所有元素均为1的n阶方阵（2n），则nJ的互不相同特征值的个数为。二、（10分）已知矩阵200011031A，100052021B，112101030C，矩阵,PX满足PAB，PXC，求矩阵X。三、(10分)设线性方程组123123123304235xxxxxaxbxxx，问当参数,ab取何值时，1）此方程组无解2）此方程组有唯一解3）此方程组有无穷多解四、（10分）设A为4阶方阵，4维列向量0b，2RA，若1234,,,pppp都是非齐次方程组Axb的解向量，且满足122204pp，233012pp，342101pp（1）（6分）求齐次方程组0Ax的一个基础解系。（2）（4分）求Axb的通解。五、（16分）将二次型222123123121323,,46448fxxxxxxxxxxxx用正交变换化为标准形。六、（14分）设V为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间，定义V上的变换T如下：对任意xV，TTXAXXA，其中1221A，TX表示X的转置矩阵。（1）（6分）证明T是V上的一个线性变换。（2）（8分）求T在V的基111000E，120100E，210010E，220001E下的矩阵。七、（1）（8分）已知向量组12,,,naaa线性无关，向量组12,,,nbbb满足112223111nnnnnbaabaabaabaa分别讨论当4n和5n时，向量组12,,,nbbb是否线性相关（2）（8分）设1，2为方阵A的两个不同的特征值，12,为A相应于1的两个线性无关的特征向量，23,为A相应于2的两个线性无关的特征向量，证明向量组1234,,,线性无关。2007-2008学年第一学期线性代数B2007-2008学年第一学期线性代数B一、（24分，填空与选择题）1.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且Aa，Bb，EACBO，则C。2.设A，B，AB均为可逆矩阵，则矩阵11AB也可逆，则其逆矩阵为（）。A.1()BABAB.111()AABBC.11()TABD.1()TTAB3.若A是5阶方阵，且4A，则1*1142AA（）A.12B.14C.8D.以上答案均不正确。4.设1234,,,是齐次线性方程组0Ax的基础解系，则下列向量中不再是0Ax的基础解系的为（）。（A）1121231234,,,（B）12233141,,,（C）12233141,,,（D）12233141,,,5.若3阶方阵A的特征值为1,0,2，则与方阵32BAAE相似的对角矩阵为。6.设123,,是非齐次线性方程组Axb的解，123k，则是Axb的解的充分必要为k，123k，则是AxO的解的充分必要为k。7.设A、B为n阶方阵，且秩相等，即()()RARB，则有（）。A.()0RABB.()2()RABRAC.(,)2()RABRAD.(,)()()RABRARB8.已知实二次型为正定二次型2221231231223,,4222fxxxxxxaxxxx，则实常数a的取值范围为。二、（10分）设矩阵112022103A，已知多项式3221gxxx，求行列式gA。三、（8分）设A和B都是3阶方阵，E为单位阵，2ABEAB，其中101020101A，求B。四、（10分）已知向量组1101，230n，335m与向量组1132，2112有相同的秩，并且3可由12,线性表示，求,mn的值。五、（10分）已知线性方程组1231231232125541xaxxxxaxxxx，问a取何值是方程组有无穷多解并用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。六、（12分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，126是A的二重特征值，若1110，2211都是A的属于特征值6特征向量，求A及它的另一个特征值与特征向量。七、（12分）设A为n阶方阵，满足223AAEO（1）证明：3rAErAEn（2）证明：矩阵A能相似于对角矩阵，并求出它的相似阵。八、（14分）设122244244A，求正交矩阵P，使TPAP为对角形矩阵。
