14.1几何证明选讲解答题1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D，求AP·AD的值.解析：∵∠APC＋∠ABC＝180°，∠ACD＋∠ACB＝180°，又AB＝AC＝3，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠APC＝∠ACD.又∠CAP＝∠DAC，∴△APC∽△ACD.∴＝，AP·AD＝AC2＝9.2．自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，求∠MPB的大小．证明因为MA为圆O的切线，所以MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.因为∠BMP＝∠PMC，所△BMP∽△PMC.于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.3．如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E，求证：OE＝CD.证明作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.又OE⊥AB，O为AF的中点，则OE＝BF.因为AC⊥BD，所以∠DBC＋∠ACB＝90°.又因为AF为直径，所以∠BAF＋∠BFA＝90°.因为∠AFB＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.从而得OE＝CD.4．如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，求∠EFD的度数．解析：由切割线定理得PD2＝PE·PF⇒PE＝＝＝4⇒EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝PO，∴∠P＝30°.∵∠POD＝60°，∠EFD＝30°.5．如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过点A作AP⊥OM于点P.(1)求证：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于点B，过点B的切线交直线ON于点K，求证：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理，得OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK.又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即＝，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.6．如图，AB为圆O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作圆O的割线CED(点E在点C、D之间)，若∠ABE＝∠BDE，求证：C为线段AB的中点．证明在△BCE和△DCB中，因为∠BCE＝∠DCB，∠CBE＝∠CDB，所以△BCE∽△DCB.所以＝，即BC2＝EC·DC.因为直线AB、直线CED分别为⊙O的切线和割线，所以由切割线定理可知，CA2＝CE·CD.所以BC2＝CA2.所以BC＝CA，即C为线段AB的中点．7．如图，已知圆上的弧A＝B，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为A＝B，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.8．过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：＝.证明AT是圆O的切线，∠ATP＝∠ANT，又∠TAP＝∠NAT，所以△ATP∽△ANT.所以＝.同理＝.两式相乘＝.因为AT＝AS，所以＝.
