正弦定理、余弦定理VIP免费

第四章4.7正弦定理、余弦定理及其应用(2013.山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝97(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理＝＋－2accosB，得＝－2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.由正弦定理得sinA＝2b2a2c2b2ca97（2）在△ABC中，sinB＝924cos12B322sinbBa因为a＝c，所以A为锐角，31sin1cos2AA所以因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝27210类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝∶，试判断三角形ABC的形状．2a2b由正弦定理得，BABABAba222222sinsintantan,sinsin所以BABABABA2sin2sinsinsinsincoscossin22即所以所以2A＝2B，或2A＋2B＝π，因此A＝B或A＋B＝，从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．2请思考是否还有其他方法(2012.上海)在△ABC中的形状是（）则若ABCCBA222sinsinsinA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定,中解：在ABC222222,sinsinsincbaCBA由正弦定理知CCabcbaC选为钝角,02cos222类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设相遇时小艇航行的距离为Snmile，则S＝＝故当t＝时，Smin＝，此时v＝即小艇以30nmile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．)3090cos(20302400900002tt300)31(90040060090022ttt3131033031310(2)设小艇与轮船在B处相遇，则32032900400600900300400600900)3090cos(302029004002222222tttttvttvtttv解得又t＝时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.3232此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC＝28.所以渔船甲的速度为v＝14(海里/小时)．(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理得143328120sin12sin120sin28sin12,sinsin00BACBCAB1．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形C4．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC.则A的取值范围是(),33,0,66,0.DCBAC6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()4255.10103.510.1010.DCBAC7．(2012.湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝ab，则角C＝_________．cbacba328．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．729．(2012.辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解：(1)由题意知A＋B＋C＝π，2B＝A＋C21cos,3BB(2)∵b2＝ac，cosB＝，21∴由正弦定理得sin2B＝sinAsinC＝1－cos2B＝43