【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习-第三章第八节课时知能训练-理-(广东专用)VIP免费

课时知能训练一、选择题1．如图3－8－10所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()图3－8－10A．c和αB．c和bC．c和βD．b和α【答案】D2．(2012·汕头模拟)已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km【解析】由余弦定理知，AC2＝102＋202－2×10×20cos120°＝700.∴AC＝10km.【答案】D3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【解析】如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)．在Rt△ABC中，AB＝5.于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．【答案】C4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°【解析】如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.【答案】C5．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．20(1＋)mB．20(1＋)mC．20(1＋)mD．30m用心爱心专心1【解析】如图所示，∠BDC＝45°，∠ADC＝30°，且BH＝20m.∴AC＝CDtan30°＝，BC＝CD＝20.因此AB＝AC＋BC＝20(1＋)．【答案】A二、填空题6．(2011·福建高考)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．【解析】∵S△ABC＝BC·AC·sinC，∴＝AC，∴AC＝2，因此△ABC为等边三角形，AB＝2.【答案】27．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．【解析】如图所示，设BD＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】16图3－8－118．(2012·潮州模拟)如图3－8－11，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10米至D处，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的值为________．【解析】由条件知△ADC中，∠ACD＝2θ，∠ADC＝180°－4θ，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10.则由正弦定理得＝，∴＝，∴cos2θ＝.∵2θ为锐角，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.【答案】15°三、解答题9．如图3－8－12，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．用心爱心专心2图3－8－12【解】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，即AB＝＝，因此，BD＝≈0.33km.故B，D间的距离约为0.33km.10.图3－8－13如图3－8－13，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．【解】如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10，DE＝＝＝130，EF＝＝＝150.在△DEF中，由余弦定理，cos∠DEF＝＝＝.因此∠DEF的余弦值为.用心爱心专心3图3－8－1411．如图3－8－14，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？【解】如图所示，连结A1B2.由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10.因此，乙船的速度为×60＝30(海里/小时)．用心爱心专心4