课时知能训练一、选择题1.如图3-8-10所示,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,α,β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是()图3-8-10A.c和αB.c和bC.c和βD.b和α【答案】D2.(2012·汕头模拟)已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为()A.10kmB.10kmC.10kmD.10km【解析】由余弦定理知,AC2=102+202-2×10×20cos120°=700.∴AC=10km.【答案】D3.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这只船的速度是每小时()A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里【解析】如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里).在Rt△ABC中,AB=5.于是这只船的速度是=10(海里/小时).【答案】C4.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°【解析】如图所示,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴∠ABD=160°.在△ABD中,由正弦定理=,∴AD=AB·==2cos10°.【答案】C5.为了测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是()A.20(1+)mB.20(1+)mC.20(1+)mD.30m用心爱心专心1【解析】如图所示,∠BDC=45°,∠ADC=30°,且BH=20m.∴AC=CDtan30°=,BC=CD=20.因此AB=AC+BC=20(1+).【答案】A二、填空题6.(2011·福建高考)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于________.【解析】∵S△ABC=BC·AC·sinC,∴=AC,∴AC=2,因此△ABC为等边三角形,AB=2.【答案】27.地上画了一个角∠BDA=60°,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为点B,则B与D之间的距离为________米.【解析】如图所示,设BD=xm,则142=102+x2-2×10×xcos60°,∴x2-10x-96=0,∴x=16.【答案】16图3-8-118.(2012·潮州模拟)如图3-8-11,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10米至D处,测得顶端A的仰角为4θ,则θ的值为________.【解析】由条件知△ADC中,∠ACD=2θ,∠ADC=180°-4θ,AC=BC=30,AD=CD=10.则由正弦定理得=,∴=,∴cos2θ=.∵2θ为锐角,∴2θ=30°,∴θ=15°.【答案】15°三、解答题9.如图3-8-12,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D间的距离(计算结果精确到0.01km,≈1.414,≈2.449).用心爱心专心2图3-8-12【解】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.在△ABC中,=,即AB==,因此,BD=≈0.33km.故B,D间的距离约为0.33km.10.图3-8-13如图3-8-13,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值.【解】如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M.DF===10,DE===130,EF===150.在△DEF中,由余弦定理,cos∠DEF===.因此∠DEF的余弦值为.用心爱心专心3图3-8-1411.如图3-8-14,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?【解】如图所示,连结A1B2.由已知A2B2=10,A1A2=30×=10,∴A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,∴△A1A2B2是等边三角形,∴A1B2=A1A2=10.由已知A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°.在△A1B2B1中,由余弦定理得B1B=A1B+A1B-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10)2-2×20×10×=200,∴B1B2=10.因此,乙船的速度为×60=30(海里/小时).用心爱心专心4