第二讲数列的通项公式与数列求和研热点（聚焦突破）类型一数列的通项问题1．累加法求通项：形如an＋1－an＝f(n)．2．累乘法求通项：形如＝f(n)．3．构造法：形如：an＋1＝pan＋q.4．已知Sn求an，即an＝[例1](2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.跟踪训练数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，数列{an}的通项公式为________．解析：由题意，当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2，①故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4，又因为a1＝1，所以a2＝4.故当n≥3时，有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，②由，得an＝.而当n＝1时，a1＝1，不满足上式，n＝2时，满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝1答案：类型二数列求和数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列；(3)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．[例2](2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.[解析](1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.2跟踪训练(2012年高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.答案：D类型三数列的综合应用1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．2．数列的单调性的判断方法：(1)作差：an＋1－an与0的关系；(2)作商：与1的关系．[例3](2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.[解析](1) a1，a2＋5，a3成等差数列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.3又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1，∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7.由得∴a1＝1.(2) 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，①∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.②①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，∴an＋1＝3an＋2n.两边同除以2n＋1得＝·＋，∴＋1＝(＋1)．又由(1)知＋1＝(＋1)，∴数列{＋1}是以为首项，为公比的等比数列，∴＋1＝·()n－1＝()n，∴an＝3n－2n，即数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.(3)证明： an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n＝C·1n·20＋C·1n－1·21＋C·1n－2·22＋…＋C·10...
