第四节圆的方程考纲点击1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.热点提示1.能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程.2.直线和圆的位置关系是考查的热点.3.本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目.1．圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．(2)确定一个圆的要素是和．2．圆的方程圆心半径圆的标准方程圆的一般方程方程圆心坐标半径(a，b)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0r定点定长3．点与圆的位置关系已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．则：(1)点在圆上：；(2)点在圆外：；(3)点在圆内：.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r24．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)；(2)；(3)．根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的条件是()A.14＜m＜1B．m＞1C．m＜14D．m＜14或m＞1【解析】若方程表示圆，则(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.【答案】D2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，解得a＝1，r2＝4.故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二：AB中垂线方程为y＝x，即圆心为(1,1)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.【答案】C3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0【解析】直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.即：x2＋y2＋2x－4y＝0.【答案】C4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．【解析】 点(0,0)在圆x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，∴02＋02＋a×0＋a×0＋2a2＋a－1＞0，即2a2＋a－1＞0，解得a＞或a＜－1.又a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0.【答案】(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．【解析】连接OA、OB，由平面几何知识可知O、A、P、B四点共圆，故三角形APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心为(2,1)，半径故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝5求圆的方程求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．【思路点拨】由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐．【自主探究】方法一：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为即2r2＝(a－b)2＋14①由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2②又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F④又圆心(－D2，－E2)到直线x－y＝0的距离为|－D2＋E2|2，由已知，得(|－D2＋E2|2)2＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心，在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.【方法点评】1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r.2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程．圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由三...
