高中物理竞赛教程：3.5《典型例题分析》VIP免费

§3．5典型例题分析例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(l＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为。解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l＞πd/2的情况下，线会形成长度为)2/(21dlx的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然ifT2式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，if指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r△θ，与x轴的夹角均为方θ，显然rff221而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这用心爱心专心AB薄膜d图3-5-1ABTTCD图3-5-2样cos221rffxx所以drrfi24cos2因此dT说明对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180º计算，已知水银密度33106.13mkg，水银的表面张力系数mNa49.0。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？分析：取圆饼侧面处宽度为△x，高为h的面元△S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对△S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。△S两侧表面张力43,ff可认为等值反向的。用心爱心专心hF1f2f3fhx4f图3-5-3解：xghSpF2121Fff21cosxghxa221)cos1(gah)cos1(2由于0<θ<90º,有mhm33104103例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓AK和BK则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为cmr00.21，A泡和B泡的半径均为cmr50.22。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动用心爱心专心BKKBr1r1r1rh0V图3-5-4图3-5-5稍增大或缩小的情形可作同样分析。若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当12rr时，A泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。解：(1)见上面的分析。(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有03234Vr21222220),3(rrrhhrhV且解得r=3.04cm例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为101042.1m，若石墨的密度为32270mkg，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)解：显然应根据晶格模型进行研究，把用心爱心专心hb图3-5-6晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属...