江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积（2）》学案教学目标：1．掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；3．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力．教学重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用．教学难点：平面向量的数量积运算律的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、复习导引复习提问：1．（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积的定义；[（3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质．2．判断下列各题正确与否：①若，则对任一向量，有；(√)②若，则对任一非零向量，有；(×)③若，，则；(×④若，则至少有一个为零向量；(×)⑤若，则当且仅当时成立；(×)用心爱心专心1⑥对任意向量，有．(√)二、学生活动问题1已知实数，，()，则.=·=是否成立？问题2实数的运算律有ab=ba；a(b+c)=ab+ac；(ab)c=a(bc)．在向量的数量积中是否成立？（举例说明）三、建构数学1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．（1）交换律：；证明：设夹角为，则，，∴．（2）数乘结合律：证明：若，此式显然成立．若，，，，∴若，，，．∴综上可知成立．（3）分配律：．在平面内取一点，作=,=，=，∵（即）在方向上的投影等于在用心爱心专心212abABOA1B1Cc方向上的投影和，即：∴，∴即：．说明：（1）一般地，()·≠·（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,2．向量的数量积不满足结合律．分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(•)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立．举反例如下：已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，()·＝（||·||cos60°）·＝，·(·)＝（||·||cos45°）＝而≠，故（）·≠·（·）四、数学运用1．例题．例1已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．用心爱心专心3变式1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．变式2如图，是的三条高，求证：相交于一点．变式3用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点．例3四边形中，=，=，=，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形？例4设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由．2．巩固．（1）已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______；（2）若，；（3）若、的夹角为，则|+|；（2）已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|（3）设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；（4）对于两个非零向量，，当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直．五、回顾反思用心爱心专心4ABCDEFH通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题．用心爱心专心5用心爱心专心6
