山东省高中数学《3.3.1几何概型》训练评估-新人教A版必修3VIP专享VIP免费

3.3几何概型3.3.1几何概型双基达标限时20分钟1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为号()．A.B.C.D．无法计算解析由几何概型的概率公式知＝，所以S阴＝·S正＝.答案B2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为()．A.B.C.D．无法计算解析因为＝，所以＝，所以S阴＝×4＝.答案A3．下列概率模型中，几何概型的个数为()．①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率．A．1B．2C．3D．4解析①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．答案B4．两根相距6m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________．解析由已知得：P＝＝.答案5．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．解析两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.答案6．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4cm，现用直径等于21cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为4cm的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形A′B′C′的边长为4－2＝2，由几何概率公式得：P(A)＝＝.综合提高限时25分钟7．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()．A.B.C.D.解析试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝.答案A8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是()．A.B.C.D.解析如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.答案C9．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是________．解析本题为体积型几何概型问题，P＝＝.答案10．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是________．解析记事件A为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT＝60°，周角为360°，故P(A)＝＝.答案11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取一个数，b是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，故P(A)＝＝.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而构成A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图所示的阴影部分，2所以P(A)＝＝.12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开...