课时跟踪训练(五十二)抛物线[基础巩固]一、选择题1．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4B．4C．－2D．2[解析]抛物线的焦点坐标为，由双曲线的方程可知a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，所以右焦点为(2,0)，所以＝2，p＝4.[答案]B2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．9C．10D．18[解析]抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－.由题意可得4＋＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝10.[答案]C3．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2[解析]抛物线C的焦点坐标为F(1,0)，PF⊥x轴，∴xP＝xF＝1.又 y＝4xP，∴y＝4. yP＝(k>0)，∴yP＝2，∴k＝xPyP＝2.故选D.[答案]D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.B．2C．2D．3[解析]解法一：依题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝2，选C.解法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝2，选C.[答案]C5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()1A.B.C.D.[解析]由抛物线定义知|PF|＝|PA|，∴P点坐标为(3，2)，所以A点坐标为(－1,2)，AF与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为π，选B.[答案]B6．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[解析]由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知得，AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＋16＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.[答案]C二、填空题7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案]28．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的面积为________．[解析]由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，2m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面积S＝4×2××＝8.[答案]89．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.[答案]三、解答题10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．[解](1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2) 点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又 F(1,0)，∴kFA＝. MN⊥FA，∴kMN＝－.又FA的方程为y＝(x－1)，故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，2∴N的坐标为.[能力提升]11．已知抛物线x2＝4...
