盘点两个原理的应用 专题辅导 不分版本VIP免费

盘点两个原理的应用王保国分类计数原理和分步计数原理是学习排列、组合知识的基础，学习时要搞清楚是分类或是分步。分类时首先要确定统一的分类标准，防止重复或遗漏，分步时也要确定一个分步标准，下面结合实例，给予分析。一.分类计数原理的应用例1.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？解：分析个位数字，可以如下分类：个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的1个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的1个，故有7个；个位是7的两位数有6个；……个位是2的两位数有1个。由分类计数原理可知，满足已知条件的两位数共有1+2+3+…+8=36（个）。点评：本题是用分类计数原理解答的，恰当地选择分类标准是解题关键。有时，可能分类方法不止一种，要选择解决问题最简捷的分类方法。例2.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分。某球队打完15场比赛，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有多少种？解：以胜的场数为分类标准进行如下分类：胜负平积分114033102330+3=3390627+6=33由上述分类可得，该队胜、负、平的情况共有如上3种。点评：由题意可知，该球队至少胜9场才有可能积33分。当然胜的场数不能超过11，否则积分超过33。这样分析之后，就可以胜的场数为分类标准，共3种情况。二.分步计数原理的应用例3.（1）某教学楼有3个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？（2）4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？解：（1）4名学生分别下楼，问题分4步完成，每名学生有3种不同的下楼方法，则不同的下楼方法共有：3×3×3×3=34=81（种）。（2）确定3项冠军人选可逐项完成，即分3步，第1项冠军人选有4种可能，第2项与第3项也都有4种可能，由分步计数原理知不同的冠军获得者的可能情况共有：4×4×4=43=64（种）。点评：对于应用分步计数原理解答的题目，正确确定分步标准是关键。三.两个原理的综合应用例4.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）。A.18对B.24对C.30对D.36对解：（1）共用一顶点的共面直线有66052C（对）；（2）侧面上互相平行的直线有6对；（3）侧面的对角线有3对共面。用心爱心专心115号编辑1所以异面直线共有C152606336（对）例5.如图1所示，某城市中M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有多少种？NM北东图1解：如图2所示，按走法规则要求从A1向北到N与从A2、A3、A4、A5向北到N的走法都有1种，因此只需计算出从M到AAAAA12345、、、、的走法。从M到AAAAA12345、、、、的走法分别有1种、2种、3种、4种、5种，所以从M到N的走法有：1×1+2×1+3×1+4×1+5×1=15（种）。NA1A2A3A4MA5东北图2小结：分类计数原理和分步计数原理是排列、组合问题的基础知识。学习时要先搞清楚是分类问题还是分步问题，或者是分类与分步的混合问题，分类时，要标准统一，不重不漏，分步时，要有先后顺序。用心爱心专心115号编辑2