2.2圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案：D2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D、E、F的值分别为()A．4，－6,3B．－4,6,3C．－4,6，－3D．4，－6，－3解析：－＝－2，则D＝4；－＝3，则E＝－6；此时方程为x2＋y2＋4x－6y＋F＝0.＝4，则F＝－3.答案：D3．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为()A．0B．6C．±2D．2解析：两圆的圆心分别为C1，C2(0,0)．∵两圆关于直线x－y－1＝0对称．∴C1C2的中点在直线x－y－1＝0上．∴＋－1＝0，a＝2.答案：D4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是()A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：R2＝＝.当k2＝0时，R2最大，面积也最大．此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知，解得a＞2.答案：D6．圆x2＋y2＋8x－4y＝0与圆x2＋y2＝20关于直线y＝kx＋b对称，则k与b的值分别为()A．k＝－2，b＝5B．k＝2，b＝5C．k＝2，b＝－5D．k＝－2，b＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y＝kx＋b对称，∴×k＝－1，∴k＝2.又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k＋b＝1，∴b＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.解析：由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.答案：－28．圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB的斜率为k.由圆的知识可知：CP⊥AB.所以kCP·k＝－1.又kCP＝＝1⇒k＝－1.所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.答案：x＋y－4＝09．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆心在x轴上，∴－＝0，则E＝0.此时圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，由题意得解得∴圆的方程为x2＋y2－4x－6＝0.答案：x2＋y2－4x－6＝0三、解答题10．求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意得即∴∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.11．已知x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F>0，所以(t＋1)2＋t2－4(t2－2)>0.所以2t>－9，即t>－.(2)圆x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0的标准式方程为2＋2＝，由条件知，圆的半径是3，所以3＝.所以2t＋9＝36.所以t＝>－，所以t＝.12．已知一圆过点P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆与y轴的交点为A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，则y2＋Ey＋F＝0，所以m、n是这个方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F.所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4)2，故E2－4F＝48.①又因为点P(4，－2)、Q(－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D－2E＋F＝0，且1＋9－D＋3E＋F＝0.即4D－2E＋F＋20＝0，②－D＋3E＋F＋10＝0.③解①②③得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.因此圆的方程是x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.13．已知Rt△AOB中|OB|＝3|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA||PB||PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，设P(x，y)，内切圆半径为r，则有|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r＝|OA|·|OB|所以r＝1.故内切圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.①又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②由①可知x2＋y2－2y＝2x－1.将其代入②，则有|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22，因为x∈[0,2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S＝π2＋π2＋π2＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，×22＝，×18＝π，所以所求面积之和的最大值为，最小值为.
