第12讲圆锥曲线中探索性问题及创新型问题1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍，点A在椭圆C上．不过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列．(1)求椭圆C的方程．(2)试判断OA2＋OB2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知a＝2b且＋＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，m≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，且Δ＝16(1＋4k2－m2)>0.因为k1，k，k2恰好构成等比数列，所以k2＝k1k2＝＝，即k2＝k2＋＋，所以－4k2m2＋m2＝0，因为m≠0，所以k2＝，解得k＝±，此时Δ＝16(2－m2)>0，即m∈(－，)，所以又OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝(x＋x)＋2＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2＝5，所以OA2＋OB2是定值，且为5.2．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.3.如图，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－2,3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设圆M：(x－m)2＋y2＝r2(r>0)．①设圆M与线段PF2交于A，B两点，若MA＋MB＝MP＋MF2，且AB＝2，求r的值；②设m＝－2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G，H两点(均异于点P)．试问：是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P(－2,3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c＝2，由＋＝1，得y＝±，所以＝＝3，化简得a2－3a－4＝0，解得a＝4，所以b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)①因为MA＋MB＝MP＋MF2，所以MA－MP＝MF2－MB，即PA＝BF2.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q.因为圆M与线段PF2交于A，B两点，所以kMQ·kAB＝kMQ·kPF2＝－1，即·＝－1，解得m＝－，所以MQ＝＝，又AB＝2，所以r＝＝.②假设存在正数r满足题意．由G，H两点恰好关于原点对称，设G(x0，y0)，则H(－x0，－y0)，不妨设x0<0.因为P(－2,3)，m＝－2，所以两条切线的斜率均存在，设过点P与圆M相切的直线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由该直线与圆M相切，得r＝，即k＝±，所以两条切线的斜率互为相反数，即kPG＝－kPH，所以＝－，化简得x0y0＝－6，即y0＝，代入＋＝1，化简得x－16x＋48＝0，解得x0＝－2(舍去)或x0＝－2，所以y0＝，所以G(－2，)，H(2，－)，所以kPG＝＝，所以r＝＝.故存在满足条件的正数r，且r＝.4.如图，点T为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点T分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，连结BA并延长至点P，使得BA＝AP，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问：在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)，T(x0，y0)，则A(x0,0)，B(0，y0)，由题意知BA＝AP，所以A为PB中点，由中点坐标公式得即又因为点T在圆O：x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1,从而＋y2＝1.故曲线C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在满足题意的点Q，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx＋t，因为AB＝OT＝1，故2＋t2＝1，即＋t2＝1，①联立消去y，得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0,设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝k＋2t＝，因为OMQN为平行四边形，故Q，因为点Q在椭圆上，所以＋2＝1，整理得4t2＝4k2＋1，②将①代入②，得4k4＋k2＋1＝0，该方程无解，故不存在满足题意的点Q.
