第12讲圆锥曲线中探索性问题及创新型问题1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A在椭圆C上.不过原点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设直线OA,l,OB的斜率分别为k1,k,k2,且k1,k,k2恰好构成等比数列.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断OA2+OB2是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由.解:(1)由题意知a=2b且+=1,所以a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,m≠0,A(x1,y1),B(x2,y2).联立整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=,x1·x2=,且Δ=16(1+4k2-m2)>0.因为k1,k,k2恰好构成等比数列,所以k2=k1k2==,即k2=k2++,所以-4k2m2+m2=0,因为m≠0,所以k2=,解得k=±,此时Δ=16(2-m2)>0,即m∈(-,),所以又OA2+OB2=x+y+x+y=(x+x)+2=[(x1+x2)2-2x1x2]+2=5,所以OA2+OB2是定值,且为5.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解:(1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为⊙M与直线x+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2.又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故⊙M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.3.如图,已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆M:(x-m)2+y2=r2(r>0).①设圆M与线段PF2交于A,B两点,若MA+MB=MP+MF2,且AB=2,求r的值;②设m=-2,过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点(均异于点P).试问:是否存在这样的正数r,使得G,H两点恰好关于坐标原点O对称?若存在,求出r的值;若不存在,请说明理由.解:(1)因为点P(-2,3)是椭圆C上一点,且PF1⊥x轴,所以椭圆的半焦距c=2,由+=1,得y=±,所以==3,化简得a2-3a-4=0,解得a=4,所以b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)①因为MA+MB=MP+MF2,所以MA-MP=MF2-MB,即PA=BF2.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q),由(1)知Q.因为圆M与线段PF2交于A,B两点,所以kMQ·kAB=kMQ·kPF2=-1,即·=-1,解得m=-,所以MQ==,又AB=2,所以r==.②假设存在正数r满足题意.由G,H两点恰好关于原点对称,设G(x0,y0),则H(-x0,-y0),不妨设x0<0.因为P(-2,3),m=-2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由该直线与圆M相切,得r=,即k=±,所以两条切线的斜率互为相反数,即kPG=-kPH,所以=-,化简得x0y0=-6,即y0=,代入+=1,化简得x-16x+48=0,解得x0=-2(舍去)或x0=-2,所以y0=,所以G(-2,),H(2,-),所以kPG==,所以r==.故存在满足条件的正数r,且r=.4.如图,点T为圆O:x2+y2=1上一动点,过点T分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,连结BA并延长至点P,使得BA=AP,点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点A,B分别位于x轴与y轴的正半轴上,直线AB与曲线C相交于M,N两点,试问:在曲线C上是否存在点Q,使得四边形OMQN为平行四边形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y),T(x0,y0),则A(x0,0),B(0,y0),由题意知BA=AP,所以A为PB中点,由中点坐标公式得即又因为点T在圆O:x2+y2=1上,所以x+y=1,从而+y2=1.故曲线C的方程为+y2=1.(2)假设存在满足题意的点Q,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y=kx+t,因为AB=OT=1,故2+t2=1,即+t2=1,①联立消去y,得(4k2+1)x2+8ktx+4(t2-1)=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=k+2t=,因为OMQN为平行四边形,故Q,因为点Q在椭圆上,所以+2=1,整理得4t2=4k2+1,②将①代入②,得4k4+k2+1=0,该方程无解,故不存在满足题意的点Q.