增分强化练(三十二)1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．解析：(1)∵y2＝4x的焦点为(1,0)，∴椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|＝2a＝4，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)①当P，Q为椭圆顶点时，易得△OPQ的面积为×2×＝，②当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，由，得x2＝，所以|OP|＝，由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，所以|OQ|＝＝，所以S△OPQ＝|OP|·|OQ|＝6＝6＝6，＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，所以0<≤，所以≤S△OPQ<，综上，△OPQ面积的最小值为.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(，)满足PF1·PF2＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1·k2的值．解析：(1)依题意F1(－c,0)，∴PF1·PF2＝－c2＋3＝0，即c＝，∵e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(3k2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1·k2＝k2＝＝，则(x1＋x2)＝3，即＝，解得k2＝，故k1k2＝.3．已知抛物线C：y2＝2px(0
0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝n，①y1y2＝－t，②则kPAkPB＝·＝·＝.由题意，得y1y2＋(y1＋y2)＋1＝1，即y1y2＋(y1＋y2)＝0，③将①②代入③得－t＋n＝0，即t＝n.所以l：x＝n(y＋1)．显然l过定点(0，－1)．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E，D两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C的焦距为2，长轴的长为4，所以2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)．易知F1(－1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．联立方程，得得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2(－＋1)＝，直线ME，MD的斜率kME＝，kMD＝，则kME·kMD＝·＝＝＝＝＝.要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2－12＝0，解得m＝±2.当m＝2时，kME·kMD＝＝＝－；当m＝－2时，kME·kMD＝＝＝－.当直线l的斜率不存在时，不妨设E(－1，)，D(－1，－)，此时，当m＝2时，M(2,0)，kME·kMD＝－；当m＝－2时，M(－2,0)，kME·kMD＝－.综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值．当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－；当定点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－.
