第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=cos(-12x+π2)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数答案:A2.下列函数中,周期为π2的是()A.y=sinx2B.y=sin2xC.y=cosx4D.y=cos4x答案:D3.定义在R上的四个函数图象的一部分如图所示,其中不是周期函数的是()ABCD答案:D4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于原点对称.5.已知函数f(x)满足f(x+2)=-1f(x),求证f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.解:因为f(x+4)=f(x+2+2)=-1f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.B级能力提升6.设函数f(x)=sinπ3x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(738)=0.解析:因为f(x)=sinπ3x的周期T=2ππ3=6,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(738)=123[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=123(sinπ3+sin23π+sinπ+sin43π+sin53π+sin2π)=0.7.判断函数f(x)=ln(sinx+❑√1+sin2x)的奇偶性.解:因为sinx+❑√1+sin2x≥sinx+1≥0,若两处等号同时取到,则sinx=0且sinx=-1,矛盾,所以对x∈R恒有sinx+❑√1+sin2x>0.因为f(-x)=ln(-sinx+❑√1+sin2x)=ln(❑√1+sin2x-sinx)=ln(❑√1+sin2x+sinx)-1=-ln(sinx+❑√1+sin2x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.8.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且当x∈0,π2时,f(x)=1-sinx.求当x∈5π2,3π时f(x)的函数解析式.解:x∈[5π2,3π]时,3π-x∈[0,π2],因为x∈[0,π2]时,f(x)=1-sinx,所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又因为f(x)是以π为周期的偶函数,所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的函数解析式为f(x)=1-sinx,x∈[5π2,3π].C级挑战创新9.多选题关于x的函数f(x)=sin(x+φ),下列说法正确的是()A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数B.存在φ,使f(x)是偶函数C.存在φ,使f(x)是奇函数D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数E.存在φ,使f(x)既是奇函数又是偶函数解析:当φ=0时,f(x)=sinx是奇函数;当φ=π2时,f(x)=cosx是偶函数.因此B项和C项正确,A项和D项错误;既是奇函数又是偶函数的函数只有一种表达形式,即f(x)=0,显然不存在φ,使f(x)既是奇函数又是偶函数,因而E项错误.答案:BC10.多空题若函数f(x)=3sin(ωx+π6),ω>0,x∈R,且以π2为最小正周期,则ω=4;若f(α4+π12)=95,则sinα的值为±45.解析:因为f(x)的最小正周期为π2,ω>0,所以ω=2ππ2=4,所以f(x)=3sin(4x+π6).因为f(α4+π12)=3sin(α+π3+π6)=3cosα=95,所以cosα=35.所以sinα=±√1-cos2α=±45.
