第3课时利用空间向量解决有关空间角的开放问题[A级基础巩固]1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2，3，3)B．P(－2，0，1)C．P(－4，－4，0)D．P(3，－3，4)解析：逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，所以MP·n＝6－12＋6＝0，所以MP⊥n，所以点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案：A2．(2020·大连市月考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：如图所示，建立坐标系，易求点D.平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，所以cos〈n，AD〉＝＝，即sinα＝.答案：D3．如图所示，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝EBD．E与B重合解析：分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F＝(0，1，－2)，DE＝(2，2，z)，因为D1F⊥DE，所以D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，解得z＝1，所以B1E＝EB.答案：A4.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：1①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，所以A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故①③④正确．答案：C5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，点P，Q分别是线段A1E与线段DD1上的动点，当点P，Q的距离最小时，异面直线AP与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D．－解析：以AB，AD，AA1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2.则A1(0，0，2)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)，C(2，2，0)，E(2，1，0)，设A1P＝λA1E，DQ＝μDD1，则P(2λ，λ，2－2λ)，Q(0，2，2μ)．所以|PQ|＝＝≥，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，此时AP＝.又CD1＝(－2，0，2)，所以异面直线AP与CD1所成角的余弦值cosθ＝.答案：B6．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为AB＝λCD＋μCE，所以AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：平行或在平面内7．已知平面α，平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，若α⊥β，则x＝________；若平面α与平面β所成锐二面角的余弦值为，则x＝________．解析：由α⊥β，得a⊥b，所以a·b＝x－2＋6＝0，解得x＝－4.若平面α与平面β所成锐二面角的余弦值为，则|cos〈a，b〉|＝＝＝，解得x＝－.答案：－4－8．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．2解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)．因此EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，所以EF·BC1＝2.所以cos〈EF，BC1〉＝＝.所以EF和BC1所成的角为60°.答案：60°9.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(1)证明：以A为原点，AB、AD、AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AB＝a.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，AD1＝(0，1，1)，B1E＝，因为B1E·AD1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此B1E⊥AD1，所以B1E⊥AD1.(2)解：存在满足要求的点P，假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，3使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)，再设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．AB1＝(a，0，1)，AE＝.则即取x＝1，则y＝－，z＝－a，所以平面B1AE的一个法向量为n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.所以存在点P，满足DP∥...
