第12讲：数形结合思想情形之14-17【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离.”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法.因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.四、本讲讲了数形结合思想情形之14-17,情形14：表示函数在到上的平均变化率，它等于两点所在直线的斜率；情形15：表示函数在处切线的斜率；情形16：定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积；情形17：表示做变速直线运动的物体在时间上经过的路程.【方法讲评】数形结合情形十四数形表示函数在到上的平均变化率，它等于两点所在直线的斜率.表示函数在处的瞬时变化率,它等于，也等于函数在处的切线的斜率.【例1】函数在区间上的平均变化率是2，则=．【解析】由题得,所以.【点评】由于平均变化率就是两点所在直线的斜率，所以本题直接代斜率公式即可.【例2】设函数，则（）A.B.C.D.【点评】(1)并不是表示函数在点处的瞬时变化率，因为它的分母是，不是自变量的增量，所以需要对它变形，使它满足瞬时变化率的定义公式.对瞬时变化率要从本质上理解，不能只看形式.(2)表示函数在处的瞬时变化率,它等于，也等于函数在处的切线的斜率.【反馈检测1】设函数存在导数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（）A.B.C.D.数形结合情形十五数形表示函数在处切线的斜率.【例3】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____．【点评】（1）本题利用了的几何意义这个知识点，表示函数在处切线的斜率.所以我们看到就要联想到切线的斜率，看到切线的斜率就要联想到.（2）求切线的问题，一般先要求切点，再求斜率,再根据直线方程的点斜式写出直线的方程.【反馈检测2】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为__________．数形结合情形十六数形（函数在区间上连续且恒有）定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.【例4】计算的结果为（）.A．1B．C．D．【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以=.【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】数形结合情形十七数形表示做变速直线运动的物体在时间上经过的路程.表示物体在变力作用下从移动到所做的功.【例5】一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_____米．【解析】据题意，与的函数...
