第九章平面解析几何热点探究训练6高考中的圆锥曲线问题A组基础达标(建议用时：30分钟)1．(2017·扬州模拟)如图3，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，O为坐标原点，M在PF1上，F1M＝λMP(λ∈R)，PO⊥F2M.图3(1)若椭圆方程为＋＝1，P(2，)，求点M的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围.【导学号：62172281】[解](1) ＋＝1，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝.∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为：y＝(x＋2)．由解得x＝，∴点M的横坐标为.6分(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)， F1M＝2MP，∴F1M＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，F2M＝. PO⊥F2M，OP＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0，即x＋y＝2cx0.联立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0.解得x0＝或x0＝. －a
.综上，椭圆离心率e的取值范围为.14分2．(2017·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.(1)求椭圆方程和直线方程；(2)试在圆N上求一点P，使＝2.[解](1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，所以椭圆M的方程为：＋＝1.圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.②由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得＝，即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③将②代入③得km＝1，④1由②，④且k>0，得：k＝，m＝2.所以直线方程为：y＝x＋2.6分(2)将k＝，m＝2代入①可得A，又过切点B的半径所在的直线l′为：y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)，设P(x，y)，因为＝2，则＝8，化简得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤又P(x，y)满足x＋y－2x0＝4，⑥将⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦将⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，所以P(－1,1)或P.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆Γ：＋y2＝1.(1)椭圆Γ的短轴端点分别为A，B(如图4)，直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M满足m≠0，且m≠±.①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．(2)若圆O：x2＋y2＝4.l1，l2是过点P(0，－1)的两条互相垂直的直线，其中l1交圆O于T，R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q.求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程.【导学号：62172282】图4[解](1)①因为A(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直线AM的斜率为k1＝－，直线BM的斜率为k2＝，∴直线AM的方程为y＝－x＋1，直线BM的方程为y＝x－1，由得(m2＋1)x2－4mx＝0，∴x＝0，x＝，∴E，由得(m2＋9)x2－12mx＝0，∴x＝0或x＝，∴F；据已知m≠0，m2≠3，∴直线EF的斜率k＝＝＝－，∴直线EF的方程为y－＝－，令x＝0，得y＝2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．②S△AMF＝MA·MFsin∠AMF，S△BME＝MB·MEsin∠BME，∠AMF＝∠BME，5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME，∴＝，2∴＝. m≠0，∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0，又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1为所求.8分(2)因为直线l1⊥l2，且都过点P(0，－1)，所以设直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，直线l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0，所以圆心(0,0)到直线l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距离d＝，所以直线l1被圆x2＋y2＝4所截的弦TR＝2＝；由得k2x2＋4x2＋8kx＝0，所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝，所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝，当＝，即k2＝，解得k＝±时等号成立，此时直线l1：y＝±x－1.16分2．(2017·苏北四市期末)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.图5(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．[解](1)因为左顶点为A(－4,0)...
