【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第十一章第61课双曲线要点导学要点导学各个击破求双曲线的方程已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为6,求双曲线C的方程.[思维引导]在双曲线中有c2=a2+b2,ca=3,再将y=2代入双曲线方程得到2212a=6,从而求出双曲线C的方程.[解答]由题设知ca=3,即222aba=9,故b2=8a2,所以双曲线C的方程可化为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,并求得x=±212a.由题设知2212a=6,解得a2=1.所以a=1,b=22.故双曲线C的方程为x2-28y=1.[精要点评]也可以将点6,22代入双曲线方程,再根据c2=a2+b2=3求出双曲线C的方程.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-5,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是.[答案]x2-24y=1[解析]由题意可知c=5,F1F2=25,线段PF1的中点坐标为(0,2),设右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以PF1=22(25)4=6,所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b21=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-24y=1.双曲线的性质(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与24y-x2=1具有相同的渐近线,则双曲线C的方程为,渐近线的方程为.[答案]23x-212y=1y=±2x[解析]因为双曲线24y-x2=1的渐近线方程为y=±2x,所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x,故可设双曲线C的方程为24y-x2=m(m≠0),将点(2,2)代入,得m=-3,故双曲线C的方程为23x-212y=1.(2014·浙江卷)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线22xa-22yb=1(a>b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足PA=PB,则该双曲线的离心率是.[答案]52[解析]由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为y=bax和y=-bax,与直线x-3y+m=0联立,解得A--,-3-3ambmabab,B-,33ambmabab.设AB的中点为Q,则Q2222223,9-9-ambmbaba.因为PA=PB,Q为AB的中点,所以PQ⊥AB,即kPQ·kAB=-1,所以kPQ=-3,即22222239--9-bmbaammba=-3,解得a2=4b2,所以该双曲线的离心率e=221ba=52.双曲线定义的应用(2014·增城调研)求与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都相外切的圆的圆心的轨迹.2[解答]圆x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径为r1=1,圆x2+y2-8x+12=0的标准方程为(x-4)2+y2=4,圆心为O2(4,0),半径为r2=2,设动圆P与这两个圆都外切,其半径为R,则PO1=R+r1=R+1,PO2=R+r2=R+2,所以PO2-PO1=(R+2)-(R+1)=10),曲线C2是以直线2x-3y=0与2x+3y=0为渐近线,且以(0,7)为一个焦点的双曲线.(1)求双曲线C2的标准方程;(2)若抛物线C1与双曲线C2在第一象限内有两个交点A和B,求p的取值范围,并求FA�·FB�的最大值.[思维引导](1)设双曲线为C1:24y-23x=λ(λ>0),由其焦点可求λ的值;(2)将抛物线C1与双曲线C2联立方程,消去y得关于x的一元二次方程,该方程有两个不相等的正实数根,得p的范围,再将FA�·FB�转化为关于p的函数,求其最值.[解答](1)依题意,设双曲线的标准方程为24y-23x=λ(λ>0),即24y-23x=1,其焦点为(0,7),则7=43,得λ=1,所以双曲线C2的方程为24y-23x=1.(2)将y2=2px(p>0)代入24y-23x=1中并整理,得2x2-3px+6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,则21212(-3)-4260,30,23,ppxxxx解得p>433.故p的取值范围为43,3.又F,02p,所以FA�·FB�=12--22ppxx+y1y2=x1x2-2p(x1+x2)+24p+2p12xx=-12p2+23p+3=-12(p3-23)2+9≤9,当且仅当p=23时,FA�·FB�取得最大值9.1.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2),那么该双曲线的离心率为.[答案]5[解析]因为双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=bax,经过点(1,2),所以b=2a,又c2=a2+b2=5a2,e=ca=5.2.(2014·揭阳模拟)若双曲线22xa-22yb=1的离心率为3,则其渐近线的斜率为.[答案]±2[解析]双曲线的离心率e=ca=221ba=3,所以ba=2,因为其渐近线方程为y=±bax,所以其斜率为±2.3.(2014·池州一中)若双曲线22xa-23y=1(a>0)的离心率为2,则a=.[答案]1[解析]由22xa-23y=1,知b=3,而e=ca=23aa=2,解得a=1.4.已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,曲线C与直线x=-1交于A,B两点,AB=3,那么曲线C的实轴长为.[答案]1[解析]设等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2,曲线C与直线x=-1交于A,B两点,AB=3,所以有一个交4点为3-1,2,代入方程得a2=14,a=12,C的实轴长为1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第121-122页).5
