第九章平面解析几何热点探究训练5直线与圆的综合问题A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.【导学号：62172257】－或－[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.]2．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．(－∞，4)[圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2. 圆关于直线y＝x＋2b对称，∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.∴a－b＝2＋a<4.]3．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为________．9[直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，又m>0，n>0，得＋＝1.∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝时取等号．∴2m＋n的最小值为9.]4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．[因l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，则圆心到l的距离d＝.依题意，得≤1，解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是.]5．若圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离等于1，则c的取值范围为________．(，3)[圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径r＝2，要使圆上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离为1，则1<<3，解得0，故c的取值范围为(，3)．]6．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________.【导学号：62172258】1x－2y＋3＝0[当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，kCM＝－2，∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，∴l的方程为：x－2y＋3＝0.]7．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是________．[过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x－4y＝0，由解得或结合图象(图略)可知所求点的坐标为.]8．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是________．2＋，2－[如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1，又AB＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.]9．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为________．2[圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化为：(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1. 圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值为2.]10．(2017·苏州模拟)设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为________．2[由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝＝.要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点．]二、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论.【导学号：62172259】[解](1)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b；令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(2)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．证明如下：原方程转化为(x2＋y2＋2x－y)＋b(1－y)＝0，...
