高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义应用案巩固提升 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

3.3复数的几何意义[A基础达标]1．已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则＝()A．B．C．D．5解析：选C．依题意|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝，选C．2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是()A．B．C．5D．25解析：选C．由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C．3．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C．z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C．4．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．一个圆B．两个圆C．两点D．线段解析：选B．由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．5．在复平面上，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，3＋5i，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．梯形C．正方形D．平行四边形解析：选D．因为AB＝(0，－1)－(1，3)＝(－1，－4)，AD＝(3，5)－(1，3)＝(2，2)，BC＝(2，1)－(0，－1)＝(2，2)．所以AD＝BC，AB·AD＝(－1，－4)·(2，2)＝－10≠0.所以ABCD仅为平行四边形，故选D．6．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为________．解析：由题意知A(－1，－2)，则B(2，1)，故向量OB对应的复数为2＋i.答案：2＋i7．已知复数z1＝－3＋4i，z2＝a－3i(a∈R)，z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，且OZ1⊥OZ2，则a＝________．解析：依题意OZ1＝(－3，4)，OZ2＝(a，－3)，1由于OZ1⊥OZ2，所以OZ1·OZ2＝0，即－3a－12＝0，解得a＝－4.答案：－48．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，则点D对应的复数是________．解析：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，由题意知AB＝DC，又AB对应的复数为1－i，DC对应的复数为(－2－x)＋(－3－y)i，所以－2－x＝1，－3－y＝－1.所以x＝－3，y＝－2.所以点D对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x＋y＋5＝0上？解：(1)由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.所以当m＝5或m＝－3时，z为实数．(2)由m2－2m－15≠0，得m≠5且m≠－3.所以当m≠5且m≠－3时，z为虚数．(3)由得m＝－2.所以当m＝－2时，z为纯虚数．(4)由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5.所以当m＜－3或m＞5时，z的对应点在x轴上方．(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得m＝或m＝.所以当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．10．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．解：因为|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|＞|z2|，所以＞|x2＋a|对x∈R恒成立等价于(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．不等式等价于①：1－2a＝0，解得a＝，所以a＝时，0·x2＋＞0恒成立．或②：解得－1＜a＜.综上，可得实数a的取值范围是.[B能力提升]1．若复平面上的平行四边形ABCD中，AC对应的复数为6＋8i，BD对应的复数为－4＋6i，则DA对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB＋AD＝AC，AD－AB＝BD，两式相加，可得2AD＝AC＋BD＝2＋14i，所以DA＝－1－7i.法二：如图，把向量BD平移到向量EA的位置，可得DA＝CE＝－(AC＋BD)＝－1－7i.2答案：－1－7i2．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.答案：3．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解：(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，所以|z1|＝＝2.(2)因为|z|＝1，所以设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝＝.当sin＝1时，|z－z1|2取得最大值9＋4，从而得到|z－z1|的最大值为2＋1.4．(选做题)设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|＜}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B...