第五章5.55.5.1第2课时A组·素养自测一、选择题1．cos的值等于(C)A．B．C．D．[解析]cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝.2.cos－sin的值是(B)A．0B．C．－D．2[解析]cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.3．若cosαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝(C)A．－1B．0C．1D．±1[解析]因为|cosα|≤1，|cosβ|≤1，所以|cosαcosβ|≤1，于是或所以sinα＝0，sinβ＝0，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1，故选C．4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(B)A．8B．4C．2D．6[解析]由已知得则＝4.故选B．5．在△ABC中，若sinAsinB0，∴cos(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝(C)A．－B．－C．D．[解析]∵α、β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.二、填空题7．计算sin133°cos13°－sin13°cos133°的结果为____.[解析]原式＝sin(133°－13°)＝sin120°＝.8．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝____.[解析]由α为锐角得cosα＝，又(α＋β)∈(0，π)且sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝或cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα，当cos(α＋β)＝时，cosβ＝＝sinα，所以α＋β＝，sin(α＋β)＝1，与已知sin(α＋β)＝矛盾，故cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝.9．设α∈，β∈，cosα＝，且tanα＝，则sin(α－β)＝____.[解析]由已知得tanα＝＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝cosα＝.三、解答题10．化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．[解析](1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.11．已知cosα＝－，<α<π，求cos，cos的值．[解析]∵cosα＝－，且<α<π，∴sinα＝＝，∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×(－)＋×＝，cos＝coscosα－sinsinα＝×(－)－×＝－.B组·素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰非直角三角形[解析]由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，∴△ABC是直角三角形．2．(多选题)若α∈[0,2π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是(CD)A．B．C．D．[解析]由已知得coscos＋sinsin＝0，即cos(－)＝0，cosα＝0，又α∈[0,2π]，所以α＝或α＝.3．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的描述正确的是(BD)A．对任意的角α，β都成立B．α＝β＝0时成立C．只对有限个α，β的值成立D．有无限个α，β的值使等式成立[解析]因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinα＋sinβ，所以cosβ＝1且cosα＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．4．已知cos(θ＋)＝，0<θ<，则cosθ等于(A)A．B．C．D．[解析]因为θ∈(0，)，所以θ＋∈(，)，所以sin(θ＋)＝，故cosθ＝cos[(θ＋)－]＝cos(θ＋)cos＋sin(θ＋)sin＝×＋×＝.二、填空题5.＝____.[解析]＝＝＝＝sin30°＝.6．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝__－__.[解析]由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，∵450°<β<540°，∴sinβ＝，∴sin(60°－β)＝×－×＝－.7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝____.[解析]由已知，得即解得所以tanα·tanβ＝＝.三、解答题8．已知cosαcosβ＋sinαsinβ＝，－<β<0<α<.(1)求sin(α－β)的值；(2)若sinβ＝－，求sinα的值．[解析](1)∵cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴cos(α－β)＝，∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，∴sin(α－β)＝.(2)又sinβ＝－，∴cosβ＝，由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.9．已知cosα＝，sin(α－β)＝且α，β∈(0，)．求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[解析](1)因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－，)．又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝×－×＝.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈(0，)，所以β＝.
