第02讲转化化归思想情形之5-8【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之5-8,情形5：未知已知的转化化归；情形6：构造创新的转化化归；情形7：否定逆否的转化化归；情形8：坐标解析的转化化归.【方法讲评】转化化归情形五未知已知的转化化归一般情况下，题目的未知和已知之间是存在必然的联系的，所以有时我们可以把未知的数学元素向已知的数学元素转化化归，从而充分利用已知条件，完成解题目标.【例1】已知，,，，求的值．【点评】（1）三角恒等变换首先要注意观察“角”，因为“角”是三角的主角，注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系，再决定变形的方向.（2）该题中，所以要先通过诱导公式把这样就和已知联系起来了.当然也可以把利用诱导公式变再把（3）三角恒等变换的方法主要是“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”.(4)本题就充分利用了转化的思想，是把未知的数学元素向已知的数学元素转化化归，完成解题目标.当然，如何把未知的向已知的转化化归，要注意观察未知和已知的数学元素的联系，才可以顺利完成转化化归，才可以顺利完成解题目标.【反馈检测1】设（－）=－，（－）=，且＜＜，0＜β＜，求.【例2】已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【解析】（1）当变化如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗，（2）令则上为增函数.【点评】（1）本题的第3问是本题的难点，初略看起来，好像和前面没有联系，仔细观察，它和第2问是有联系的.第2问，当时，，结论中的和第3问中的的结构基本一致，我们可以令，这样就和前面的结论联系起来了，这样，就可以利用前面的结论，把未知的向已知的转化化归，后面就水到渠成，顺利完成解题目标了.（2）在完成未知向已知的转化化归时，观察分析是比较关键的，这个“已知”可以是题目主干的条件，也可以是前面已经解答出来的结论.【反馈检测2】已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有转化化归情形六构造创新的转化化归有的数学问题，直接解答比较困难，但是，如果我们构造一个比较适当的新的“数学模型”，再利用这个数学模型来解答.【例3】已知三棱锥，满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【解析】将该三棱锥补成为正方体，如图..故选C.【点评】（1）直接找三棱锥外接球的球心，画图比较困难，解答也比较困难.但是，三棱锥的三条侧棱两两垂直，容易使我们联想到长方体和正方体，所以我们可以把这个特殊的三棱锥放到长方体这个数学“模型”中间去考虑，图画起来简单，解答起来也简单多了，这就是“数学模型”的魅力.这就是构造创新的转化化归的具体体现.（2）若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是长方体体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.【反馈检测3】三棱锥的所有顶点都在球的表...
