两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(15分钟30分)1.若sin(π+θ)=-，θ是第二象限角，sin+φ=-，φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是()A.-B.C.D.【解析】选B.因为sin(π+θ)=-sinθ=-，所以sinθ=，又θ是第二象限角，所以cosθ=-.又因为sin=cosφ=-，φ为第三象限角，所以sinφ=-.所以cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=×+×=.2.已知α∈，cos=，则sinα的值等于()A.B.C.D.-【解析】选C.因为α∈，所以+α∈，由cos=，得sin==，则sinα=sin=sincos-cossin=×-×=.【补偿训练】已知α，β均为锐角，sinα=，cos(α+β)=，则sinβ=()A.B.C.D.【解析】选A.因为α，β∈，cos(α+β)=>0，所以α+β∈，所以cosα=，sin(α+β)=，sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.3.已知α∈，β∈，且cos(α-β)=，sinβ=-，则角α的值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为α∈，β∈，所以α-β∈(0，π)，由cos(α-β)=，知sin(α-β)=.由sinβ=-，知cosβ=.所以sinα=sin=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=×+×=.又α∈，所以α=.4.sinθ+sin+sin的值为_______.【解析】原式=sinθ+sinθcos+cosθsin+sinθcos+cosθsin=sinθ-sinθ+cosθ-sinθ-cosθ=0.答案：05.已知函数f(x)=2cos，x∈R.设α，β∈，f=-，f=，求cos(α+β)的值.【解析】因为f=-，所以2cos=2cos=-，所以sinα=.又因为f=，所以2cos=2cosβ=，所以cosβ=.又因为α，β∈，所以cosα=，sinβ=，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=()A.±1B.1C.-1D.0【解析】选D.原式=sin+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0.【补偿训练】=()A.-B.-C.D.【解析】选C.原式===sin30°=.2.在△ABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】选C.因为A+B+C=π，所以A=π-(B+C).由已知可得sin(B+C)=2sinCcosBsinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB⇒sinBcosC-cosBsinC=0⇒⇒sin(B-C)=0.因为0Q>RB.P>R>QC.R>P>QD.R>Q>P【解析】选D.因为α，β∈，所以0<α+β<π.所以sinα>0，sinβ>0，sin(α+β)>0，0Q，又P=sin(α+β)=sinαcosβ+cosα·sinβQ>P.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.cosα-sinα化简的结果可以是()A.cosB.2cosC.sinD.2sin【解析】选BD.cosα-sinα=2=2=2cos=2sin.三、填空题(每小题5分，共10分)5.若cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-，且450°<β<540°，则sinβ=_______，sin(60°-β)=_______.【解题指南】先逆用两角差的余弦公式求出cosβ的值，进而得到sinβ，再利用两角差的正弦公式求出sin(60°-β)的值.【解析】由已知得cos=cosβ=-，因为450°<β<540°，所以sinβ=，所以sin(60°-β)=×-×=-.答案：-【补偿训练】已知α∈，tanα=2，则cos=_______.【解析】由tanα=2得sinα=2cosα，又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=，因为α∈，所以cosα=，sinα=，因为cos=cosαcos+sinαsin，所以cos=×+×=.答案：6.已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=_______.【解析】由sin10°+mcos10°=2cos140°可得，m=====-.答案：-四、解答题7.(10分)已知<α<，0<β<，cos=-，sin=.(1)求sin(α+β)的值.(2)求cos(α-β)的值.【解析】(1)因为<α<，所以<+α<π，所以sin==.因为0<β<，所以<+β<π，所以cos=-=-，所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sin=-sincos+cos·sin=-=.(2)由(1)可知，sin=，cos=-，所以sin=sincos-cossin=×-×=-.又sin=sin=-cos(α-β)，从而cos(α-β)=.
