8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误;球的表面积为4πR2, 圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确; V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,∴D正确.答案CD2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1. 正方体内接于球,∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8.答案B3.(2019广东高二期末)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54解析如图所示,点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,当DM⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时,OD=OB=R=4. S△ABC=AB2=9,∴AB=6. 点M为△ABC的中心,∴BM=BE=2.∴Rt△OMB中,有OM==2.∴DM=OD+OM=4+2=6.∴(VD-ABC)max=×9×6=18.故选B.答案B4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析设底面圆半径为R,米堆高为h. 米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.∴体积V=·πR2h=×π××5. π≈3,∴V≈(立方尺).∴堆放的米约为≈22(斛).答案B5.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为()A.18πB.9(1+2)πC.9πD.9(1+)π解析 圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,即πr2h==18π,解得r=3.∴h=6,母线长为l==3,则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.答案D6.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.答案47.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.答案8.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.解析由底面边长为,可得OC=1.设M为VC的中点,O1M=OC=,O1O=VO,VO==2,∴O1O=1.V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=.答案9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π.能力提升练1.(2020青海西宁二中高二期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.πa2B.πa2C.πa2D.5πa2解析根据题意可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上、下底面中心连线的中点就是球心,如图,则其外接球的半径为R=,球的表面积为S球=4π×πa2.故选B.答案B2.(多选题)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D.下列说法正确的是()A.以BC所在直线为轴,将...
