第二讲函数与方程及函数的应用(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018·华师一附中一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=lnx-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.当x>0时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=-1=,所以x∈(0,1)时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减.因此,当x>0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象,如图,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.2.函数f=lnx-x,若f>0的解集为,且中只有一个整数,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.f>0只有一个整数解等价于kx+4>只有一个大于1的整数解,设g=,则g′=,可得g在上递减,在上递增,由图可知,kx+4>只有一个大于1的整数解只能是2,所以-20,g(x)在区间(0,e)上单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)在区间(e,+∞)上单调递减,且g(e)=,当01),方程t=|x2-1|有两个不等实根,所以原方程有2个不同的实根.(2)当k=时,方程(*)有两个相等正根t=,方程=|x2-1|有四个不等实根,所以原方程有4个不同的实根.(3)当k=0时,方程(*)有两个不等实根t=0或t=1,方程0=|x2-1|有两个不等实根,方程1=|x2-1|有三个不等实根,所以原方程有5个不同的实根.(4)当01时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知指数函数,对数函数y=g和幂函数y=h的图象都过P,如果f=g=h=4,那么x1+x2+x3=____________.【解析】设f=ax,g=logbx,h=xα,代入P,得=2,logb=2,=2,解得a=4,b=,α=-1,所以f=4x,g=lox,h=x-1,所以x1=1,x2=,x3=,和为.答案:8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+6x+4,则y=[f(x)]2+f(x)-30的零点个数为____________个.【解析】令y=[f(x)]2+f(x)-30=0,解得f(x)=-6或f(x)=5.作出函数f(x)的图象如图所示,观察可知,f(x)=-6无解,f(x)=5有两解,故y=[f(x)]2+f(x)-30的零点个数为2.答案:2三、解答题(每小题10分,...
