课时提升练(六十一)离散型随机变量及其分布列一、选择题1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5【解析】“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.【答案】C2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于()A.B.C.D.【解析】P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.【答案】A3．已知随机变量X的概率分布列如下表：X12345678910Pm则P(X＝10)＝()A.B.C.D.【解析】由分布列的性质可知m＝1－＝1－＝∴P(X＝10)＝.【答案】C4．(2014·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.B.C.D.【解析】事件“X＝4”表示任取的3个球中有2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.【答案】C5．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()A．P(X＝2)B.P(X≤2)C．P(X＝4)D.P(X≤4)【解析】X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.【答案】C6．若随机变量η的分布列为η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤2B.1≤x≤2C．1＜x≤2D.1＜x＜2【解析】由随机变量η的分布列知：P(η＜－1)＝0.1，P(η＜0)＝0.3，P(η＜1)＝0.5，P(η＜2)＝0.8，则当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围是1＜x≤2.【答案】C二、填空题7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.【解析】 X等可能取值1,2,3，…，n.∴P(X＝n)＝，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，由P(X＜4)＝0.3得＝0.3，∴n＝10.【答案】108．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分．故X的所有可能取值为－1,0,1,2,3.【答案】－1,0,1,2,39．(2014·西安模拟)已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．【解析】设x取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，d，a＋d.则a－d＋d＋a＋d＝1，∴a＝.由得－≤d≤.【答案】三、解答题10．已知一个口袋中分别装了3个白色玻璃球、2个红色玻璃球和n个黑色玻璃球，现从中任取2个玻璃球进行观察，每取到一个白色玻璃球得1分，每取到一个红色玻璃球得2分，每取到一个黑色玻璃球得0分，用X表示所得的分数，已知得0分的概率为.(1)求袋中黑色玻璃球的个数n；(2)求X的分布列；(3)求得分不低于3分的概率．【解】(1)因为P(X＝0)＝＝，所以n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n＝4，即袋中有4个黑色玻璃球．(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4.则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的分布列为X01234P(3)得分不低于3分，即X≥3，由(2)知X＝3或X＝4，因此P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝，即得分不低于3分的概率为.11．(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列是X1234P故随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.12．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个...
