第四课时利用导数研究含参数不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数求解不等式问题1,2恒成立问题求参数3含全称、存在量词不等式问题41.(2017·济南历下区校级三模)已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx-恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)因为f(x)=xlnx.所以f′(x)=1+lnx,令f′(x)=0,得x=,当x∈(0,)时,f′(x)<0;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0.所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)由于x>0,f(x)>kx-恒成立,所以k0.所以函数k(x)在点x=处取得最小值,即k()=1-ln2.因此所求k的取值范围是(-∞,1-ln2).2.(2017·吉林白山二模)已知函数f(x)=lnx+bx-c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调区间;(3)若在区间[,3]内,恒有f(x)≥2lnx+kx成立,求k的取值范围.解:(1)f′(x)=+b,因为f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0,所以切线斜率为-1,则f′(1)=1+b=-1,得b=-2,将x=1代入方程x+y+4=0,得y=-5,所以f(1)=b-c=-5,将b=-2代入得c=3,故f(x)=lnx-2x-3.(2)由题意知函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=-2,令f′(x)>0得,0,故f(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,+∞).(3)由f(x)≥2lnx+kx得k≤-2-在区间[,3]内恒成立,1设g(x)=-2-,则g′(x)=,因为x∈[,3],所以g′(x)>0,所以g(x)在区间[,3]上单调递增,所以g(x)的最小值为g()=2ln2-8,所以k≤2ln2-8.即k的取值范围是(-∞,2ln2-8].3.(2017·山西晋中二模)已知函数f(x)=2lnx+ax-(a∈R)在x=2处的切线经过点(-4,2ln2).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式>mx-1恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f′(x)=+a+,令x=2,所以f′(2)=1+a+f′(2),所以a=-1,设切点为(2,2ln2+2a-2f′(2)),则y-(2ln2+2a-2f′(2))=f′(2)(x-2),代入(-4,2ln2)得,2ln2-2ln2-2a+2f′(2)=-6f′(2),所以f′(2)=-,则f(x)=2lnx-x+.所以f′(x)=-1-=≤0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)由>mx-1恒成立得(2lnx+-x)>m,即>m.由(1)得f(x)在(0,+∞)单调递减,又f(1)=0,所以,当x∈(0,1)时f(x)>0,此时>0,当x∈(1,+∞)时,f(x)<0,此时>0,所以>0,所以m≤0.即实数m的取值范围为(-∞,0].4.导学号38486071(2017·安徽宿州一模)已知函数f(x)=alnx+,g(x)=bx,a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)对于任意a∈[0,1],任意x∈[2,e],总有f(x)≤g(x),求b的取值范围.2解:(1)f(x)=alnx+,则f′(x)=-=(x>0),当a≤0时,f′(x)<0恒成立,即f(x)递减区间为(0,+∞),不存在递增区间;当a>0时,令f′(x)>0得x>,令f′(x)<0得00时,f(x)递减区间为(0,),递增区间为(,+∞).(2)令(a)=alnx+-bx,由已知得(1)最大,则只需(1)≤0,即lnx+-bx≤0,对任意x∈[2,e],lnx+-bx≤0恒成立,即b≥+恒成立.令h(x)=+(x∈[2,e]),则h′(x)=,设m(x)=x-xlnx-2(x∈[2,e]),则m′(x)=-lnx<0,所以m(x)在[2,e]递减,所以m(x)≤m(2)=-2ln2<0,即h′(x)<0,所以h(x)在[2,e]递减,所以h(x)max=h(2)=+,则b≥+,所以b的取值范围为[+,+∞).3
