《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十单元第五节 直线、平面垂直的判定及其性质精品课件 苏教版VIP专享VIP免费

第五节直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的一条直线都垂直,就说直线a与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线.任意相交直线平行2.点面、线面距离及线面角(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线,的距离,叫做这个点到这个平面的距离.(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面,这条直线上到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.(3)直线与平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的所成的,叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与平面或,则称它们所成的角是0°的角.这个点和垂足间平行任意一点射影锐角垂直平行在平面内3.二面角及其平面角4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是,那么就说这两个平面互相垂直.(1)二面角的定义一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,这条直线叫做二面角的,每个半平面叫做二面角的.(2)二面角平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的.二面角棱面平面角直二面角(2)平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的,那么这两个平面互相垂直.典例分析题型一线线垂直【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB.分析要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.(3)平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.一条垂线交线证明 α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又 EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD.同理EB⊥CD. EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB. AB平面EAB,∴AB⊥CD.学后反思证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.举一反三1.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.证明： SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC.又 BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.又 AE平面SAB,∴BC⊥AE. SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE. BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.又 SB平面SBC,∴AE⊥SB.同理可证,AG⊥SD.题型二线面垂直【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.分析要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.证明(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A学后反思本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.举一反三2.已知P为Rt△ABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.证明：如图，连接CD. PA=PB，D为斜边AB的中点，∴PD⊥AB.∴ D为斜边AB的中点，∴CD=AB=AD.又 PA=PC，∴∴PD⊥DC.又AB∩CD=D,∴PD⊥平面ABC.222PAADPD12222PCCDPD题型三面面垂直【例3】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证：（1）DE=DA;(2)平面MBD⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.分析（1）要证明DE=DA,只需证明取EC中点F构造的Rt△DEF≌Rt△ADB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可.(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明（1）方法一：如图，取EC的中点F，连...