二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？例1、求方程''0yxy的通解解：设2012nnyaaxaxax⋯⋯为方程的解，这里(0,1,2,,,)iain⋯⋯是待定常系数，将它对x微分两次，有将y，'y的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x2210a，30320,aa41430,aa52540,aaL或一般的可推得032356(31)3kaakkL，13134673(31)kaakkL，其中1a，2a是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a及1a）便是所要求的通解。例6求方程'''240yxyy的满足初值条件(0)0y及'(0)1y的解。解设级数2012nnyaaxaxax⋯⋯为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到00a，11a，因而将y，'y，''y的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到因而最后得21111(1)!!kakkk,20ka,对一切正整数k成立。将ia(0,1,2,)iL的值代回2012nnyaaxaxax⋯⋯就得到这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程及初值条件00()yxy及''00()yxy的情况。不失一般性，可设00x，否则，我们引进新变量0txx，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0xx的就是00t了，因此，今后我们总认为00x。定理10若方程22()()0dydypxqxydxdx中系数()px和()qx都能展成x的幂级数，且收敛区间为||xR，则方程22()()0dydypxqxydxdx有形如的特解，也以||xR为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程这里n为非负常数，不一定是正整数，（22()()0dydypxqxydxdx）在此1()pxx，22()1nqxx，显然它不满足定理10的条件，因而不能肯定有形如0nnnyax的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。定理11若方程22()()0dydypxqxydxdx中系数()px，()qx具有这样的性质，即()xpx和2()xqx均能展成x的幂级数，且收敛区间为||xR，若00a，则方程22()()0dydypxqxydxdx有形如0nnnyxax即的特解，是一个特定的常数，级数0nnnyax也以||xR为收敛区间。若00a，或更一般的，0(0,1,2,1)iimL，但0ma，则引入记号m，kmkba，则00nmkknmkknmkkyxaxxaxxbx，这里00mba，而仍为待定常数。例7求解n阶贝赛尔方程22222()0dydyxxxnydxdx。解将方程改写成2222210dydyxnydxxdxx，易见，它满足定理11的条件（()xpx和2()xqx均能展成x的幂级数，且收敛区间为||xR），且2221,xpxxqxxn，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理11，方程有形如的解，这里00a，而ka和是待定常数，将0akkkyax代入：22222()0dydyxxxnydxdx中，得220()0akkkxnax，把x同幂次项归在一起，上式变为令各项的系数等于0，得一系列的代数方程因为00a，故从220[]0an解得的两个值n和n先考虑n时方程22222()0dydyxxxnydxdx的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数ka。把n代入以上方程组，得到2(2)kkaaknk，2,3kL或按下标为奇数或偶数，我们分别有从而求得一般地将ka各代入0akkkyax得到方程22222()0dydyxxxnydxdx的一个解既然是求22222()0dydyxxxnydxdx的特解，我们不妨令其中函数s定义如下：当s>0时，10sxsxedx；当s<0且非整数时，由递推公式1()1sss定义。s具有性质1sss;1!nnn为正整数而02102112!12knknkkayaxxknnnkL变为注意到函数的性质，即有nJx是由贝塞尔方程22222()0dydyxxxnydxdx定义的特殊函数，称为n阶贝赛尔函数。因此，对于n阶贝塞尔方程，它总有一个特解nJx。为了求得另一个与nJx线性无关的特解，我们自然想到，求an时方程22222()0dydyxxxnydxdx的形如的解，我们注意到只要n不为非负整数，像以上对于n时的求解过程一样，我们总可以求得使之满足220...
