【成才之路】高中数学2-2-1-2对数的运算性质能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数有()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0B．1C．2D．3[答案]A[点拨]对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于()A．a＋2b－3cB．a＋b2－c3C.D.[答案]C[解析]lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lg，∴x＝，故选C.3．log618＋2log6的结果是()A．－2B．2C.D．log62[答案]B[解析]原式＝log618＋log62＝log636＝2.4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为()A．a－2B．5a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1[答案]A[解析]由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.5．已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于()A.B.C．10D．100[答案]B[解析]＝＝10－1＝，故选B.6．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m－3n＝()A.B．108C.D．36[答案]C[解析]由已知得am＝2，an＝3，∴a2m－3n＝(am)2÷(an)3＝，故选C.7．已知f(log2x)＝x，则f()＝()A.B.C.D.[答案]D[解析]令log2x＝，∴x＝，∴f()＝.8．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为()A．lg2·lg3B．lg2＋lg3C．－6D.[答案]D[解析]由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x1x2)＝lg，∴x1x2＝.二、填空题9．(～河北孟村回民中学月考试题)化简log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝________.[答案][解析]log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝log22＝.10．计算lg5×lg20＋(lg2)2＝________.[答案]1[解析]原式＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.11．计算lg－lg＋lg＝________.[答案][解析]原式＝(5lg2－2lg7)－2lg2＋(lg5＋2lg7)＝lg2－2lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝.12．已知lg3＝0.4771，lgx＝－3.5229，则x＝________.[答案]0.0003[解析]∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.三、解答题13．若a＞0且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝loga；⑤＝logax；⑥＝loga；⑦logax＝logxn；⑧loga＝－loga.其中成立的有多少个．[解析]利用对数的运算性质判断各式是否正确即可．①是错误的，如(log24)3＝8≠3log24＝6；②是错误的，如(log24)3＝8≠log243＝log226＝6；③是正确的，因为－loga＝－logax－1＝logax；④是错误的，如＝2≠log2＝1；⑤同①一样，也不正确；⑥是正确的，因为log2＝logax＝logax；⑦是正确的，设loganxn＝y，则(an)y＝xn，即x＝＝a＝ay，所以y＝logax，即logxn＝logax；⑧是正确的，因为loga＝loga()－1＝－loga.所以成立的有4个[点评]利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算．14．计算：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.(3).[分析]直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．[解析](1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝()2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.(2)原式＝lg25＋lg8＋lg·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)＝＝＝＝＝＝＝1.[方法点拨]在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．15．log92＝a，()b＝5，用a、b表示log3120.[解析]∵log322＝log32，∴log32＝2a，∵()b＝5，∴3－b＝5，∴log35＝－b，log3120＝log323×5×3＝3log32＋log35＋1＝3a－b＋1.16．已知a、b、c满足a2＋b2＝c2，且a、b、c∈(0∞，＋)．求证：log2(1＋)＋log2(1＋)＝1.[解析]证明：左边＝log2＋log2＝log2＝log2＝log2＝log22＝1＝右边，等式成立．
