第一节数列的概念与简单表示一、选择题(6×5分＝30分)1．(2011·平顶山模拟)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，⋯的第100项是()A．14B．12C．13D．15解析：易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋⋯＋n＝nn＋12.易得n＝13时，最后一项为第91项，n＝14共有14个，故第100项为14.答案：A2．(2011·商丘一模)已知数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－1an＋1(n＝1,2,3，⋯)，能使an＝b的n的数值是()A．14B．15C．16D．17解析：a1＝b，a2＝－1b＋1，a3＝－b＋1b，a4＝b，∴此数列的周期为3，∴能使an＝b的n的数值满足n＝3k－2(k∈N*)．答案：C3．(2011·珠海月考)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝12，∴12a4＝12＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝23，∴a3a5＝12×32＝34.答案：C4．(2011·北京石景山高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为()A．91B．152C．218D．279解析：a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.答案：B5．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋⋯＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于()A．2nB.nn＋12C．2n－1D．2n－1解析：由an＝a0＋a1＋a2＋⋯＋an－1(n≥1)，得an＋1＝a0＋a1＋a2＋⋯＋an－1＋an＝2an，∴{an}(n∈N*)是公比为2的等比数列，a1＝a0＝1，∴an＝2n－1.答案：C6．(2011·清远阶段测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
1，n∈N*.11．(12分)(2011·宿州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：an－an－1＝3n－2，由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，⋯，a3－a2＝7，a2－a1＝4，叠加得：an－a1＝4＋7＋⋯＋3n－2＝n－14＋3n－22＝3n2－n－22，∴an＝3n2－n2(n≥2)．当n＝1时，1＝a1＝3×12－12＝1，∴数列{an}的通项公式an＝3n2－n2.12．(13分)(2011·潍坊质检)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．解析：(1)由an＝n2－n－30，得a1＝1－1－30＝－30，a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24.设an＝60，则60＝n2－n－30.解之得n＝10或n＝－9(舍去)．∴60是此数列的第10项．(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．∴a6＝0.令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．∴当n>6(n∈N*)时，an>0.令n2－n－30<0，解得－5
