3.3三角函数的积化和差与和差化积基础知识基本能力1．理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程．(重点、难点)2．能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．(重点)1．了解和差化积公式和积化和差公式的适用条件，能初步运用公式进行和积互化．(易混点、易错点)2．了解三角变换在解决数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(难点)1．积化和差公式cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．【自主测试1－1】函数y＝cosx·cosx－π3的最小正周期是()A．2πB．πC．π2D．π4解析： y＝cosx·cosx－π3＝12cosx＋x－π3＋cosx－x－π3＝12cos2x－π3＋12cosπ3＝12cos2x－π3＋14，∴函数的最小正周期为π.答案：B【自主测试1－2】sin37.5°cos7.5°＝__________.解析：sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin30°)＝1222＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2；sinx－siny＝2cosx＋y2sinx－y2；cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2；cosx－cosy＝－2sinx＋y2sinx－y2.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin105°＋sin15°等于()A．32B．22C．62D．64解析：sin105°＋sin15°＝2sin105°＋15°2cos105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62.答案：C【自主测试2－2】函数f(x)＝cosx＋π4＋cosx－π4的最小值为________．解析： f(x)＝cosx＋π4＋cosx－π4＝2cosxcosπ4＝2cosx，∴f(x)min＝－2.答案：－21．和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：①这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系；②三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解．(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算．(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值.正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法．在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式．往往这样就能发现解决三角函数问题的思路．为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把12－cosα化为积的形式，可将12看作cosπ3，再化为积．2．教材中的“探索与研究”用向量运算证明和差化积公式．如图所示，作单位圆，并任作两个向量OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)．取PQ的中点M，则Mcosα＋β2，sinα＋β2.连接PQ，OM，设它们相交于点N，则点N为线段PQ的中点且ON⊥PQ.∠xOM和∠QOM分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP，ON，OQ之间的关系，并用两种形式表达点N的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2；sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2.剖析：如图所示，P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，又M为PQ的中点，则Mcosα＋β2，sinα＋β2.又N为OM与PQ的交点，则N必为PQ的中点，∠NOQ＝α＋β2－β＝α－β2.①由N为线段PQ的中点，则N点的坐标可以表示为cosα＋cosβ2，sinα＋sinβ2.②在Rt△ONQ中，|ON|＝|OQ|cos∠NOQ＝cosα－β2.所以点N的横坐标x＝|ON|cos∠MOx＝cosα－β2·cosα＋β2.点N的纵坐标y＝|ON|sin∠MOx＝cosα－β2·sinα＋β2.由①②，可得cosα＋cosβ2＝cosα－β2cosα＋β2，sinα＋sinβ2＝cosα－β2sinα＋β2.也就是cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2，sinα＋sin...
