正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1．正弦定理分类内容定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形公式cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．二：基础知识应用演练1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．232．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：1选B由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.2选C cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又 0°
B?a>b?sinA>sinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个一解两解一解一解数三、典型题型精讲（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1](2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解析：(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.思考一下：在本例(2)的条件下，试求角A的大小．方法小结：1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB>0，故cosB＝22，所以B＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2]在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解析](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12， 0
