3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课时目标1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．1．两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.2．两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余．(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与______________互补，____________与π－α互补．一、选择题1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.B.C.D.2．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是()A．－B．－C.D.3．若锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是()A.B.C.D.4．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为()A．－1B．0C．1D．±15．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为()A．1B．2C．1＋D．2＋6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，则三角形ABC一定是()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．化简sin＋cos的结果是________．8．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为________．9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．10．式子的值是________．三、解答题11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．12．证明：－2cos(α＋β)＝.能力提升13．已知sinα＋cos＝，则sin的值是________．14．求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sincosα－cossinα＝－cosα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案知识梳理1．cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ2．sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ3．(1)＋α－α(2)ππ－αα＋作业设计1．A2．B[原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°＝－.]3．C[∵cosα＝，cos(α＋β)＝，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]4．D[cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1.]5．B[f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2sin(x＋)，∵0≤x<，∴≤x＋<.∴f(x)max＝2.]6．C[∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB∴sinAcosB－cosAsinB＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]7．cosα解析原式＝sincosα＋cossinα＋coscosα－sinsinα＝cosα.8.解析f(x)＝sinx－cosx＝＝＝sin.9.解析∴，∴＝＝.10.解析原式＝＝＝＝tan60°＝.11．解因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.12．证明－2cos(α＋β)＝＝＝＝＝.13．－解析sinα＋cos＝sinα＋cosαcos＋sinαsin＝sinα＋cosα＝＝＝sin＝.∴sin＝.∴sin＝－sin＝－.14．解设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝＝sin，∴t∈[－，]，∴sinx·cosx＝＝.∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.此时，由sin＝－，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋.此时，由sin＝，sin＝1.解得x＝2kπ＋，k∈Z.综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
