D7习题课(1)VIP免费

目录上页下页返回结束一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章目录上页下页返回结束一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程代换自变量目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解;0e1)1(32xyyy提示:(1),eee33xyxy因故为分离变量方程:通解;)3(22yyxyx.21)4(2yxy;23)2(22xyyxyxyyxydede32Cxyee313(2)这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:xxuuud3d22目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)3(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)4(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(22uxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为目录上页下页返回结束令y=utyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令t=x–1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为目录上页下页返回结束例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.e2)()(xxgxf目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee目录上页下页返回结束练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353题2求以为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)目录上页下页返回结束)ln(2dd)3(xyyxy提示:可化为关于x的一阶线性方程0dd)4(33yxyxxy提示:为伯努利方程,令2yz2(6)10yyy0d)3()9(24xyxyxyd提示:可化为伯努利方程令2xz公式提示:为可降阶方程,令))((yppyp目录上页下页返回结束原方程化为yxxy2)10(xyxu2,即,22uuxy则xydd故原方程通解uuxd2eCuuude2d2Cuuud2122u2xuxdd2xuudd2提示:令目录上页下页返回结束例4.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,h提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸),(ab)0,(aaabyxAO则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为目录上页下页返回结束hPabAyxO定解条件a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为(自己求解)0hyxyxddyxyxba12(齐次方程)bb,dd,ddtytxvbav2222,yxybyxxb2222,yxyyxx),(yxPO目录上页下页返回结束思考:能否根据草图列方程?Oyx练习题:P354题5,6P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为它的切线在纵11),(yxMY目录上页下页返回结束P354题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能...