2.1数列的概念与简单表示法(二)课时目标1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3…，，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1
a11>…>a30>1.所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.二、填空题7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.答案3·21－n8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．答案129．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N*)，则当n≥2时，an＝________.答案解析 a1＝1，且＝(n∈N*)．∴··…·＝···…·，即an＝.10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．答案－3解析an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N*⇔λ≥－3.三、解答题11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)．(1)求证：an＋3＝an；(2)求a2011.(1)证明an＋3＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.(2)解由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2.又 a2011＝a3×670＋1＝a1＝，∴a2011＝.12．已知an＝(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则当n≤7时，n＋1·>0，当n＝8时，n＋1·＝0，当n≥9时，n＋1·<0，所以a1a10>a11>a12>…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.能力提升13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，则通项公式an＝________.答案－解析 an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；……an－an－1＝；以上各式累加得，an－a1…＝＋＋＋＝1…－＋－＋＋－＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－.14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…，)，则它的通项公式是________．答案解析 (n＋1)a－na＋anan＋1＝0，∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0， an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.方法一＝.∴····…·＝····…·，∴＝.又 a1＝1，∴an＝a1＝.方法二(n＋1)an＋1－nan＝0，∴nan＝(n－1)an－1…＝＝1×a1＝1，∴nan＝1，an...
