2.1数列的概念与简单表示法(二)课时目标1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项;3.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.1.如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3…,,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值.3.一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫做递增数列.如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1
a11>…>a30>1.所以,数列{an}的前30项中最大的项是a10,最小的项是a9.二、填空题7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=3,4Sn=6an-an-1+4Sn-1,则an=________.答案3·21-n8.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N*),则使an>100的n的最小值是________.答案129.若数列{an}满足:a1=1,且=(n∈N*),则当n≥2时,an=________.答案解析 a1=1,且=(n∈N*).∴··…·=···…·,即an=.10.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是________.答案-3解析an≤an+1⇔n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)⇔λ≥-(2n+1),n∈N*⇔λ≥-3.三、解答题11.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*).(1)求证:an+3=an;(2)求a2011.(1)证明an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.∴an+3=an.(2)解由(1)知数列{an}的周期T=3,a1=,a2=-1,a3=2.又 a2011=a3×670+1=a1=,∴a2011=.12.已知an=(n∈N*),试问数列{an}中有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由.解因为an+1-an=n+1·(n+2)-n·(n+1)=n+1·=n+1·,则当n≤7时,n+1·>0,当n=8时,n+1·=0,当n≥9时,n+1·<0,所以a1a10>a11>a12>…,故数列{an}存在最大项,最大项为a8=a9=.能力提升13.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,则通项公式an=________.答案-解析 an+1-an=,∴a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;……an-an-1=;以上各式累加得,an-a1…=+++=1…-+-++-=1-.∴an+1=1-,∴an=-.14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·a-na+an+1an=0(n=1,2,3…,),则它的通项公式是________.答案解析 (n+1)a-na+anan+1=0,∴[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0, an>0,∴an+an+1>0,∴(n+1)an+1-nan=0.方法一=.∴····…·=····…·,∴=.又 a1=1,∴an=a1=.方法二(n+1)an+1-nan=0,∴nan=(n-1)an-1…==1×a1=1,∴nan=1,an...