培优提升立体几何5VIP专享VIP免费

【例1】如图，是直角三角形，、的长分别是3和4．将绕旋转一周，求扫出的立体图形的体积．()CBA43【解析】如右上图所示，扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，体积为：．【例2】已知直角三角形的三条边长分别为，，，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(取)【解析】以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为【巩固】如图，直角三角形如果以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，那么如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【解析】设，，那么以边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，由此可得到两条等式：，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度为，那么斜边上的高为．如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为，高的和为5，所以体积是．【例3】如图，是矩形，，，对角线、相交．、分别是与的中点，图中的阴影部分以为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取3)OFABCDEOFABCDE【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．两个圆锥的体积之和为(立方厘米)；圆柱的体积为(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为(立方厘米)．【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，是矩形，，，对角线、相交．图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？DCBAO【解析】设三角形以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是，则等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到．所以，(立方厘米)，那么阴影部分扫出的立体的体积是(立方厘米)．【例4】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．【解析】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：(平方厘米)；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：(平方厘米)，所以，总表面积为：(平方厘米)．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：(立方厘米)；所求几何体体积为：(立方厘米)．课后练习练习1.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1图2图3图4练习2.一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深．酒瓶的容积是多少？(取3)253015【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深，因为酒瓶深，这样所剩空间为高的圆柱，再加上原来高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：瓶中剩余空间的体积，酒瓶容积：练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都...