选修2-21.1第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故应选B.2．曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为()A．1B.C.πD．－[答案]B[解析] y′＝lim＝lim(x＋Δx)＝x∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为，故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是()A．(0,0)B．(2,4)C.D.[答案]D[解析]易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5[答案]B[解析]y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2[答案]B[解析]lim＝lim＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交第1页（共4页）[答案]B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1[答案]B[解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为()A．(1,0)或(－1，－4)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,4)[答案]A[解析] f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为()A.∪B.∪C.D.[答案]A[解析]设P(x0，y0)， f′(x)＝lim＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，∴tanα＝3x－≥－.∴α∈∪.故应选A.10．(2010·福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－]B．[－1,0]C．[0,1]D．[，1][答案]A[解析]考查导数的几何意义． y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.二、填空题11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．[答案]4x－y－1＝0第2页（共4页）[解析] f(x)＝x2＋3，x0＝2∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2∴＝4＋Δx.∴lim＝4.即f′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)即4x－y－1＝0.12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．[答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)[解析]由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)． f′(x)＝lim＝lim＝1＋.∴切线的斜率k＝1＋＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案]3x－y－11＝0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.三、解答题15．求曲线y＝－上一点P处的切线方程．[解析]∴y′＝lim＝lim＝lim＝－－.∴y′|x＝4＝－－＝－，∴曲线在点P处的切线方程为：y＋＝－(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切...
