数学：251等比数列的前n项和课件（人教A版必修5）VIP免费

2.52.5.1等比数列的前n项和等比数列的前n项和1．掌握等比数列{an}前n项和公式．2．通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法．等比数列{an}的前n项和．等比数列前n项和公式为______________(q≠1)，当q＝1时，__________.练习1：设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()CA．63B．64C．127D．128Sn＝a11－qn1－qSn＝na1练习2：在等比数列{an}中，a1＝2，前3项和S3＝26，则公比q＝()CA．3C．3或－4B．－4D．－3或41．等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q的使用条件是什么？答案：公比q≠1，当q＝1时Sn＝na1，使用等比数列前n项和公式应注意公式成立的前提条件．2．等比数列{an}的前n项和的两个公式涉及几个量？至少知道几个量才能求解其他的几个量？答案：涉及五个量．已知a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”．题型1利用方程思想求a1，n，q，an，Sn中有关的量例1：已知在等比数列{an}中，公比q＜1.(2)若a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．思维突破：求等比数列前n项和或已知前n项和求数列的通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出a1与q.(1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；自主解答：(1)由已知，得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，a1q31＋q2＝54. a1≠0,1＋q2≠0，∴两式相除，得q3＝18.∴q＝12，a1＝8，∴S5＝81－1251－12＝312.(2)由已知，得a1q2＝2，①a11－q41－q＝5×a11－q21－q，②由②，得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0. q＜1，∴q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①，得a1＝2，通项公式为an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①，得a1＝12，通项公式为an＝12×(－2)n－1.1.a1，n，q，an，Sn中知道三个可求另外两个，需建立方程组求解，此法为“基本量法”．2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．【变式与拓展】1．在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.解：若q＝1，则S6＝2S3，这与已知S3＝72，S6＝632是矛盾的，所以q≠1.从而S3＝a11－q31－q＝72，S6＝a11－q61－q＝632.将上面两个等式的两边分别相除，得1＋q3＝9，所以q＝2，由此可得a1＝12.因此an＝12×2n－1＝2n－2.题型2等比数列前n项和公式的应用例2：等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn＝80，S2n＝6560，求：(1)前100项之和S100.(2)通项公式an.自主解答：设公比为q， S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得Sn＝a11－qn1－q＝80，①S2n＝a11－q2n1－q＝6560,②由②÷①，解得qn＝81，q>1( S2n－Sn>Sn)，可知最大项为an＝a1qn－1.③qn＝81代入①③，得a1＝2，q＝3，(1)前100项之和S100＝23100－13－1＝3100－1.(2)通项公式为an＝2·3n－1.1.转化为基本量．2．当解的方程次数较高时，两式相除可降次．【变式与拓展】2．在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，Sn>400，求n的取值范围．解： a1a3＝a21q2＝36，∴a1q＝±6.又 a2＋a4＝a1q(1＋q2)＝60，且1＋q2>0，∴a1q>0，得a1q＝6,1＋q2＝10.解得a1＝2，q＝3或a1＝－2，q＝－3.当a1＝2，q＝3时，Sn＝a11－qn1－q＝23n－12>400⇒3n>401，∴n≥6；当a1＝－2，q＝－3时，Sn＝－2[－3n－1]－4>400⇒(－3)n>801， n∈N*且必须为偶数，∴n≥8且n为偶数．题型3等差数列和等比数列的综合应用例3：在等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.思维突破：首先求出a1和d，再计算an，由bn＝2an可判断数列{bn}的类型．自主解答：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，得方程组a1＋d＝9，a1＋4d＝21，解得a1＝5，d＝4.所以{an}的通项公式为an＝4n＋1(2)由an＝4n＋1，得bn＝24n＋1，所以{bn}的首项为b1＝25，公比为q＝24.于是得{bn}的前n项和为Sn＝2524n－124－1＝3224n－115.在...