人教版必修2尤溪县第五中学授课老师:池新渊线面垂直的判定尤溪县第五中学指导老师:叶良铨空间中直线与平面的位置关系有且只有三种:(1)直线在平面内(2)直线与平面相交(3)直线与平面平行前面我们已经学习了线面平行的知识(直线与平面平行的判定及其性质),那么是否也存在线面垂直相应的判断和性质呢?而一条直线与一个平面垂直的意义又是什么?ABABABABABABABABABCC1B1AB一、直线与平面垂直的定义•如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α。(如图)•直线l叫做平面α的垂线。•平面α叫做直线l的垂面。•直线l和平面α的交点叫做垂足。αPl注:画直线与水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形横边垂直。返回方法一:利用定义证明;有没有更好的方法?过△ABC的顶点A翻折三角形纸片得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)。(1)折痕AD是与桌面垂直?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?ABCD通过观察,我们容易发现,当且仅当AD⊥BC,AD所在的直线与桌面所在的平面垂直,而翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.ABCDB1┐因此我们可以猜想:若一条直线与平面内两条直线都垂直,则该直线与此平面垂直。平面内两条直线的位置关系:验证1.平行2.相交┐┐┐×√一条直线和一个平面α内的两条相交直线m,n都垂直,那么直线与此平面α垂直。即:llmnPllnlmlPnmnm,,,(1)平面内的两条直线必须“相交”;(2)必须是平面内的“两条”直线;(3)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.判定定理线线垂直线面垂直定义关键:线不在多相交则行(1)如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?(2)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?(3)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?(4)如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?αabmn已知:a∥b,a⊥α求证:b⊥α例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。(此定理可看作线面垂直的判定公理二)证明:在平面α内作两条相交直线m,n∵a⊥α∴a⊥m,a⊥n∵b∥a∴b⊥m,b⊥n,且m,n是相交直线∴b⊥ααabmn例1.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥面ABCD,AB⊥AC,求证:AC⊥面PAB。ABCDP例2已知:正方体中,AC是面对角线,BD’是与AC异面的体对角线。求证:ACBD’⊥ABDCA′B′CD′′证明:连接BD∵正方体ABCD-A’B’C’D’∴DD’⊥正方体ABCD∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD’∩BD=D∴AC⊥△D’DB∴AC⊥BD’ABDCA’B’C’D’(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断线面垂直的方法?(2)在证明线面垂直时应注意哪些问题?(3)本节课你还有哪些问题?提醒:线面垂直的判定定理及其运用是高考的重点之一,希望同学们理解掌握并能熟悉地运用定理证明相应的题目。P67练习1,2